不等式の証明

質問

x>0,y>0,z>0で、xyz>=0を満たすとき、
x^2/(x^5+y^2+z^2)+y^2/(x^2+y^5+z^2)+z^2/(x^2+y^2+z^5)=<1を証明せよ。

x^2/(x^5+y^2+z^2)=<□/(x^2+y^2+z^2)となるために□に何がくればいいのかを考えました。
同様に、y^2/(x^2+y^5+z^2)、z^2/(x^2+y^2+z^5)の場合を考えて、この３式を加えたとき、
右辺が１になるか、または、１以下を示せればいいと思いました。
しかし、□に当てはまる式を、yz、y^2z^2、xyz、などと考えましたが、うまくいかず。
また、分母を変えてみようかとも思いましたが、先ずはこれで通そうと思いました。
よろしく、アドバイスお願いします。

回答No.1

think2nd

与式左辺の３つの項いずれもx,y,zをすり替えても、いずれかの項になりますから、交代式と考えてf(x,y,z)=x^2/(x^5+y^2+z^2)と置いてf(x,y,z)<=1/3を証明しようとしましたが、私もダメでした。:-(
x,y,zの縛りが緩いから、与式<=1/3になりませんよね、
反例として、たとえばx=0.3,y=0.8,z=0.5を与式の左辺に代入して計算すると1.38・・となってしまいませんか。

お礼

回答ありがとうございます
重大なミスをしていました。
xyz>=1でした。すみませんでした。
この場合だったら、どのような解法を考えられるでしょうか。