証明の問題

質問

「x+y+z=3,(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3=0のとき、x,y,zのうち少なくとも１つは１であることを証明せよ。」
という問題なんですが、(x-1)(y-1)(z-1)=0を証明すればいいのは分かります。
しかし、式を展開しても行き詰まってしまいます。
多分（x-1）,(y-1),(z-1)を置き換えるのだと思うのですがよく分からなくなってしまいました。
分かる方、回答お願いします。

回答No.3

noname#56760 · ベストアンサー

x+y+z=3⇔(x-1)+(y-1)+(z-1)=0
(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3=0

(x-1)=a
(y-1)=b
(z-1)=cとすると

a+b+c=0
a^3+b^3+c^3=0
ここで
a^3+b^3+c^3＝(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc
=0
a+b+c=0だから
a^3+b^3+c^3＝
abc=0
したがってabcのうち少なくとも１つは０である
つまりx,y,zのうち少なくとも１つは１である

お礼

なるほど、そんな因数分解の方法がありましたね。
すっかり忘れてました。
おかげですっきりしました。
ありがとうございました。

回答No.5

noname#56760

後ろ　3が抜けてました

a+b+c=0だから
a^3+b^3+c^3＝
３abc=0
したがってabcのうち少なくとも１つは０である
つまりx,y,zのうち少なくとも１つは１である

回答No.4

debut

一例ですが・・
(x-1)^3+(y-1)^3は
{(x-1)+(y-1)}{(x-1)^2-(x-1)(y-1)+(y-1)^2}と因数分解
できて、{(x-1)+(y-1)}は計算してx+y-2ですが、x+y+z=3から
x+y=3-zなので、結局、1-z=-(z-1)になります。
すると、(z-1)^3との共通因数になり、
(z-1){-(x-1)^2+(x-1)(y-1)-(y-1)^2+(z-1)^2}
と因数分解できます。
そして、後の{ }内は
-(x-1)^2+(x-1)(y-1)と-(y-1)^2+(z-1)^2を別々に
因数分解して
(x-1){-(x-1)+(y-1)}+{(z-1)+(y-1)}{(z-1)-(y-1)}
=(x-1)(-x+y)+(z+y-2)(z-y)
ここで、z+y=3-xなので
=(x-1)(-x+y)+(1-x)(z-y)
=(x-1)(-x+2y-z)
ここで、x+z=3-yなので、-x-z=y-3
=(x-1)(3y-3)　とできます。

よって、3(x-1)(y-1)(z-1)=0

お礼

そういった別解もあるのですね。
証明の問題は答えが１つとは限らないから、難しいですね。
回答ありがとうございました。

回答No.2

kabaokaba

a+b+c=0，a^3+b^3+c^3=0のとき
abc=0であることを証明せよ

これと同値なのは分かりますか？
そして，ヒントは
a^3+b^3+c^3-3abc の因数分解です

お礼

解決しました。
ありがとうございます。

回答No.1

koko_u_

>多分（x-1）,(y-1),(z-1)を置き換えるのだと思うのですが
そうだろうね。置き換えてみた。

X + Y + Z = 0, X^3 + Y^3 + Z^3 = 0

よく知られた式 X^3 + Y^3 + Z^3 - 3XYZ = (X + Y + Z)(.... が云々。

お礼

解決しました。
ありがとうございます。