• 締切済み

証明問題です。

（１）x≧y≧0のとき、不等式x/1+x≧y/1+yが成り立つことの証明 （２）不等式|x|/(1+|x|)+|y|/(1+|y|)+|z|/(1+|z|)≧|x+y+z|/(1+|x+y+z|)が成り立つことの証明 どこから手をつけたらいいのか さっぱりです…… 解ける方いらっしゃいましたら、 解説お願いします。m(_)m

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noname#163178
noname#163178
回答No.2

（１）ｘ＋１≧ｙ＋１≧１より１／（１＋ｙ）≧１／（１＋ｘ） 両辺ー１をかけて１を加えると、１－１／（１＋ｙ）≦１－１／（１＋ｘ） よって、ｙ／（１＋ｙ）≦ｘ／（１＋ｘ） （２）左辺を通分すると、 分子＝｜ｘ｜＋｜ｙ｜＋｜ｚ｜＋２（｜ｘｙ｜＋｜ｙｚ｜＋｜ｚｘ｜）＋３｜ｘｙｚ｜ 分母＝1＋｜ｘ｜＋｜ｙ｜＋｜ｚ｜＋｜ｘｙ｜＋｜ｙｚ｜＋｜ｘｙｚ｜ ここで Ａ＝｜ｘ｜＋｜ｙ｜＋｜ｚ｜＋｜ｘｙ｜＋｜ｙｚ｜＋｜ｘｙｚ｜ Ｂ＝｜ｘ＋ｙ＋ｚ｜ とおくと、 Ａ≧｜ｘ｜＋｜ｙ｜＋｜ｚ｜≧Ｂ≧０ したがって、 問題の不等式の左辺 ＝（Ａ＋｜ｘｙ｜＋｜ｙｚ｜＋｜ｚｘ｜＋３｜ｘｙｚ｜）／（１＋Ａ） ≧Ａ／（１＋Ａ） ≧Ｂ／（１＋Ｂ）　←（１）を使う

  • suko22
  • ベストアンサー率69% (325/469)
回答No.1

(1)（左辺）-（右辺）＝ｘ/（1+ｘ）-ｙ/（1+ｙ）＝（ｘ-ｙ）/｛（1+ｘ）（1+ｙ）｝≧0（∵ｘ≧ｙ≧0だから） よって、ｘ/（1+ｘ）≧ｙ/（1+ｙ）が成り立つ。 (2)i　ｘ≧0、ｙ≧0、ｚ≧0のとき （左辺）－（右辺）＝ｘ/（1+ｘ）+ｙ/（1+ｙ）+ｚ/（1+ｚ）-（ｘ+ｙ+ｚ）/（1+ｘ+ｙ+ｚ） 　　＝1-1/（1+ｘ）+1-1/（1+ｙ）+1-1/（1+ｚ）-1+1/（1+ｘ+ｙ+ｚ） 　　＝2-1/（1+ｘ）-1/（1+ｙ）-1/（1+ｚ）+1/（1+ｘ+ｙ+ｚ） 　　＝4-｛（1+ｘ）+1/（1+ｘ）｝-｛（1+ｙ）+1/（1+ｙ）｝-｛（1+ｚ）+1/（1+ｚ）｝+｛（1+ｘ+ｙ+ｚ）+1/（1+ｘ+ｙ+ｚ）｝・・・※ ここで、1+ｘ＞0、1/（1+ｘ）＞0なので相加相乗平均より、（1+ｘ）+1/（1+ｘ）≧2（等号成立ｘ＝0） 同様に（1+ｙ）+1/（1+ｙ）≧2（等号成立ｙ＝0）、（1+ｚ）+1/（1+ｚ）≧2（等号成立ｚ＝0）、（1+ｘ+ｙ+ｚ）+1/（ｘ+ｙ+ｚ）≧2（等号成立ｘ＝ｙ＝ｚ＝0） これらの関係より、 ※は、 4-｛（1+ｘ）+1/（1+ｘ）｝-｛（1+ｙ）+1/（1+ｙ）｝-｛（1+ｚ）+1/（1+ｚ）｝+｛（1+ｘ+ｙ+ｚ）+1/（1+ｘ+ｙ+ｚ）｝≧4-2-2-2+2＝0（等号成立ｘ＝ｙ＝ｚ＝0） よって、ｘ/（1+ｘ）+ｙ/（1+ｙ）+ｚ/（1+ｚ）≧（ｘ+ｙ+ｚ）/（1+ｘ+ｙ+ｚ） 　ii　ｘ＜0またはｙ＜0またはｚ＜0のとき 　　　｜ｘ｜、｜ｙ｜、｜ｚ｜に対してiの結果を利用すると、 　　｜ｘ｜/（1+｜ｘ｜）+｜ｙ｜/（1+｜ｙ｜）+｜ｚ｜/（1+｜ｚ｜）≧（｜ｘ｜+｜ｙ｜+｜ｚ｜）/（1+｜ｘ｜+｜ｙ｜+｜ｚ｜）＝1-1/（1+｜ｘ｜+｜ｙ｜+｜ｚ｜）・・・※1 が成り立つ。 　　 　ここで｜ｘ｜+｜ｙ｜+｜ｚ｜≧｜ｘ+ｙ+ｚ｜≧0の関係を使うと、 ※1の右辺は 1-1/（1+｜ｘ｜+｜ｙ｜+｜ｚ｜）≧1-1/（1+｜ｘ+ｙ+ｚ｜）＝｜ｘ+ｙ+ｚ｜/（1+｜ｘ+ｙ+ｚ｜） よって、｜ｘ｜/（1+｜ｘ｜）+｜ｙ｜/（1+｜ｙ｜）+｜ｚ｜/（1+｜ｚ｜）≧｜ｘ+ｙ+ｚ｜/（1+｜ｘ+ｙ+ｚ｜）が成り立つ。

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