正７角形の証明

質問

正７角形の１辺をx、最も短い対角線をｙ、最も長い対角線をzとすると、y^2/x^2+z^2/y^2+x^2/z^2=5の証明をお願いします。

回答No.4

arrysthmia

恒例の陳謝と訂正 :

実軸上の頂点は、1 じゃなく
r だった。失礼した。

No.2 を、実部と虚部に分けて計算すれば、
No.3 になる。

回答No.3

info22

外接円の半径を2Rとすると
辺がx,y,zの三角形に正弦定理を適用すると
x=2Rsin(π/7),y=2Rsin(2π/7),z=2Rsin(4π/7)…(■)と表せます。

辺がx,z,zの三角形に正弦定理を適用するとz=2Rsin(3π/7)ともなります。
(sin(3π/7)=sin(4π/7)は当たり前ですが）
(■)の式を
y^2/x^2+z^2/y^2+x^2/z^2=5
の左辺に代入するとRが約分できて消え、式を倍角の公式を使い、計算して簡単化していくと5となり、右辺に等しくなります。

回答No.2

arrysthmia

複素平面に正７角形を描く。
外接円半径を r として
ζ = r exp(2πi/7) と置くと、

x = |ζ - 1|,
y = |ζ^2 - 1|,
z = |ζ^3 - 1|.
後は、左辺に代入して計算。

回答No.1

naniwacchi

正7角形の問題として、過去に下記のような質問がありました。
http://sqa.scienceportal.jp/qa5212852.html

おそらく、参考になると思います。

参考URL：

http://sqa.scienceportal.jp/qa5212852.html