集合A, B, Cがあります。以下４つについて、正しい場合は証明し、正しくない場合は反例を挙げなさい。

質問

集合X, Y, Zがあります。以下４つについて、正しい場合は証明し、正しくない場合は反例を挙げなさい。
（１）(X ∈ Y ∧ Y ∈ Z) → X ∈ Z
（２）(X ∈ Y ∧ Y ⊆ Z) → X ∈ Z
（３）(X ∈ Y ∧ Y ⊆ Z) → X ⊆ Z
（４）(X ⊆ Y ∧ Y ∈ Z) → X ⊆ Z
という問題があるのですが、どのように証明すればよいのかわかりません。
解き方を教えて下さい。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

本当は X, Y, Z が全て集合なのでややこしいんだけど, とりあえずここでの目的には関係ないので無視.
(1) の Z は「集合を要素とする集合」(集合じゃないものも要素として持てる) であるのに対し, (3) の Z は「ただの集合」です.
例えば X = a, Y = { a, b }, Z = { { a }, { a, b }, a } とすると X ∈ Y かつ Y ∈ Z ですが, もちろん Y ⊆ Z ではありません.

お礼

有り難うございます。理解が深まりました。
そうすると、（１）に関していうと、以下の反例を挙げられるので、「誤り」ですよね。
X={1,2}, Y={1, {1,2}}, Z={5, {1,{1,2}}}}だとすると、左辺を満たしている場合であっても右辺のX ∈ Zは満たせない。（Zは{1,2}を要素として持たない）したがって誤り。
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お手数ですが、残りの（２）～（４）を解くにあたって、以下２点確認させて頂きたいです。
・「集合A{1}が集合Bに属する（∈）為には、集合Bは1ではなくて{1}を（つまり括弧まるごと）含む必要がある。（よい例B{{1},3}、だめな例B{1,3}」という認識で宜しいでしょうか。
・「集合A{1,2,{3,4}}が集合Bの部分集合である（⊆）為には、集合BはAの要素（一番外の括弧の中身）を含む必要がある。（よい例B{1,2,{3,4},5}、だめな例B{1,2,3,4,5}）」
この確認が出来ると、問題を解けると思います。

回答No.3

arrysthmia

力技ですが…
(A⊆B) ⇔ (∀a, a∈A → a∈B)
(P → Q) ⇔ (Q ∨ ￢P)
を使って積和標準形にしてしまえば、
恒真かどうか解るでしょう。
恒真でなければ、その否定をとれば
反例のヒントになる。

お礼

回答有り難うございました

回答No.1

Tacosan

あなたは (1)～(4) のそれぞれについて正しいと思いますか? それとも間違っていると思いますか? それぞれ, 根拠は何ですか?

補足

すみません、まず前提として私が記号を正確に理解出来ていないようなので、一旦もっと基本的な質問に変えさせて頂きます。私の理解は以下の通りです。
(1)x∈AはAという集合にxという要素が属する。
(2)A⊂BはAという集合はBという集合に含まれる。
(3)A⊆BはAという集合はBという集合に含まれる。（⊂と違いA=Bの場合も含む。）
なので、(2)、(3)が集合対集合なのに対して(1)は要素対集合だと思っておりました。しかし要素としての集合もあり得るとすると、「(1)」と「(3)」の違いは何なのでしょうか。例を挙げて示してもらえると助かります。