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A<Bは-B<A<Bの時成立するか

不等式の証明でわからないところがあるので質問します。 問題は、x,yを実数として、x^2+y^2<2ならばx+y<2を証明するというものです。自分はコーシーの不等式を使って、(x^2+y^2)(1^2+1^2)≧ (x+y)^2, 4>(x+y)^2, -2<x+y<2としてしまったのですが、これでx+y<2を証明できているのか不安です。-2<x+y<2が成り立つときx+y<2が成立しているか、どなたか教えてくださいお願いします。

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  • asuncion
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回答No.1

-2 < x + y < 2をみたす実数の組(x, y)の集合(Aとする)を考えます。 この集合は、x + y < 2をみたす実数の組(x, y)の集合(Bとする)の部分集合です。 よって、A ⊂ Bより -2 < x + y < 2 ⇒ x + y < 2 は成り立ちます。

situmonn9876
質問者

お礼

集合を使った解説ありがとうございます。

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その他の回答 (1)

  • f272
  • ベストアンサー率46% (8047/17199)
回答No.2

A) x^2+y^2<2は黒色の円の内部 B) -2<x+y<2は赤線と青線に挟まれた領域 C) x+y<2は赤線よりも左下の領域 です。順に領域が大きくなっていますから,A→B→Cが成り立ちます。 もちろん直接にA→Cもわかります。

situmonn9876
質問者

お礼

グラフにして不等式の領域を使って考えるのは、自分はやろうとしても、できませんでした。解説ありがとうございます。

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