A<Bは-B<A<Bの時成立するか

質問

不等式の証明でわからないところがあるので質問します。
問題は、x,yを実数として、x^2+y^2<2ならばx+y<2を証明するというものです。自分はコーシーの不等式を使って、(x^2+y^2)(1^2+1^2)≧
(x+y)^2, 4>(x+y)^2, -2<x+y<2としてしまったのですが、これでx+y<2を証明できているのか不安です。-2<x+y<2が成り立つときx+y<2が成立しているか、どなたか教えてくださいお願いします。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

-2 < x + y < 2をみたす実数の組(x, y)の集合（Aとする）を考えます。
この集合は、x + y < 2をみたす実数の組(x, y)の集合（Bとする）の部分集合です。
よって、A ⊂ Bより
-2 < x + y < 2 ⇒ x + y < 2
は成り立ちます。

お礼

集合を使った解説ありがとうございます。

回答No.2

f272

A) x^2+y^2<2は黒色の円の内部
B) -2<x+y<2は赤線と青線に挟まれた領域
C) x+y<2は赤線よりも左下の領域
です。順に領域が大きくなっていますから，A→B→Cが成り立ちます。
もちろん直接にA→Cもわかります。

お礼

グラフにして不等式の領域を使って考えるのは、自分はやろうとしても、できませんでした。解説ありがとうございます。