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集合の相等の証明？の仕方を教えてください。
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証明自体はよいと思います。 ユークリッドの互除法は z＝15ｚ－14ｚ＝5・(3z)＋7・(-2z) という、一見、かなりトリッキーな式変形を行っているところ、 で使います。 まあ、 X=｛5m＋7n｜m,n∈Z｝ なら、まあ目分量でもなんとかなるでしょうが、 たとえば、 X=｛1234567m＋7654321n｜m,n∈Z｝ として、全く同じ問題がでたら、どうでしょう。 以下、一応、トリッキーな部分の概略 まず、1234567と7654321の最大公約数をユークリッドの互除法で求めます。 246919 = 7654321 - 6×1234567 …(1) 246891 = 1234567 - 4×246919 …(2) 28 = 246919 - 246891 …(3) 15 = 246891 - 8817×28 …(4) 13 = 28 - 15 …(5) 2 = 15 - 13 …(6) 1 = 13 - 6×2 …(7) で、 (1)の左辺を(2)の右辺に代入 (2)の左辺を(3)の右辺に代入 … (6)の左辺を(7)の右辺に代入 ってやっていって、整理すると 573192×7654321 - 3553793×1234567 = 1 ってことがわかります。 後は、同じです。
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- rabbit_cat
- ベストアンサー率40% (829/2062)
一応、証明の流れを書いておくと、 m=3，n=-2とすると、 5m+7n = 1 です。（実際には、こういうm,nの組を見つけるのに、ユークリッド互助法を使います） というわけで、 ｚ∈Z に対して、 m=3z，n=-2z とすれば z = 5m+7n
お礼
回答ありがとうございます。 昨夜、赤チャートの方法に基づいて解いてみたのですが rabbit_catさんのおっしゃるようにできていますか？
- kabaokaba
- ベストアンサー率51% (724/1416)
X⊂Zであることは証明するまでもないでしょう 逆の包含関係は 互いに素な整数の有名な性質そのものです． ユークッリドの互除法そのものです．
お礼
回答、ありがとうございます。 赤チャートのやり方に習って なんとかやってみました。 解答 [１]ｋ∈X ならば ｋ=5m＋7n（m,n∈Z）と表される。 5m＋7n∈Z であるから ｋ∈Z よって、ｋ∈X ならば ｋ∈Z であるから X⊂Z [２]ｚ∈Zとする。 のつづき z＝15ｚ－14ｚ＝5・(3z)＋7・(-2z) であり、 3z∈Z,-2z∈Z であるから z∈X よって、 z∈Z ならば z∈X であるから Z⊂X [１]、[２]から X=Z ここにユークリッドの互除法がたぶん使われているということなんですね。 もう少し勉強してみます！
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