大学1年生です。積分の問題が分かりません。

質問

題名の通りです。下の2つがどうやればいいのか全く分かりません。どの文字を置換する、などヒントだけでも教えて下さい。
∫x＾2/√(a＾2-x＾2) dx
∫x/√{1-(x＋2)＾2} dx

回答No.3

ferien · ベストアンサー

＞∫x＾2/√(a＾2-x＾2) dx
＝∫（ａ^2－ｘ^2）／√(a＾2-x＾2)ｄｘ－∫ａ^2／√(a＾2-x＾2)ｄｘ
＝∫√(a＾2-x＾2)ｄｘ－ａ^2∫ｄｘ／√(a＾2-x＾2)
あとは、公式を使えば求められると思います。

＞∫x/√{1-(x＋2)＾2} dx
＝∫（ｘ＋２）／/√{1-(x＋2)＾2}ｄｘ－２∫ｄｘ/√{1-(x＋2)＾2}
２つ目の積分は、公式から求められます。
１つ目の積分は、置換積分
ｘ＋２＝ｔとおいて、ｄｘ＝ｄｔ
∫（ｘ＋２）／/√{1-(x＋2)＾2}ｄｘ
＝∫ｔｄｔ／√{1-ｔ＾2}
さらに１－ｔ^2＝ｕとおいて、－２ｔｄｔ＝ｄｕより、ｔｄｔ＝(-1/2)ｄｕ
＝(-1/2)∫ｕ^(-1/2)ｄｕ
で求められると思います。

どうでしょうか？

回答No.4

ferien

ANo.3です。訂正があります。符号ミス。

＞∫x＾2/√(a＾2-x＾2) dx
＝－∫（ａ^2－ｘ^2）／√(a＾2-x＾2)ｄｘ＋∫ａ^2／√(a＾2-x＾2)ｄｘ
＝－∫√(a＾2-x＾2)ｄｘ＋ａ^2∫ｄｘ／√(a＾2-x＾2)

でお願いします。

回答No.2

info22_

■ a>0とします。
I=∫x＾2/√(a＾2-x＾2) dx
=∫x*x/√(a＾2-x＾2) dx
部分積分して
I=x(-√(a^2-x^2))+∫√(a＾2-x＾2) dx
=-x√(a^2-x^2) +I1 ...(※)
I1=∫√(a^2-x^2) dx
x = a*sin(t)(-a≦x≦a,-π/2≦t≦π/2)と置換すると,
√(a＾2-x＾2)dx = a^2*cos^2(t)dt=(a^2/2)(1+cos(2t))dt
I1= (a^2/2)∫(1+cos(2t))dt = (a^2/2){t+(1/2)sin(2t)} +C (Cは積分定数)
=(a^2/2)t+(a^2/2)sin(t)cos(t) +C
元の変数に戻すと
I1=(a^2/2)sin^-1(x/a)+(1/2)x√(a^2-x^2) +C
(※)より
I=-x√(a^2-x^2) +I1
=(a^2/2)sin^-1(x/a) -(x/2)√(a＾2-x^2) +C

■
I=∫x/√{1-(x＋2)^2} dx
x+2=uと置換して
I=∫(u-2)/√{1-u^2} du
=∫u/√{1-u^2} du -2∫1/√{1-u^2} du
公式より
= -√(1-u^2) -2sin^-1(u) +C (Cは積分定数)
元の変数に戻すと
I= -√(1-(x+2)^2) -2sin^-1(x+2) +C

お礼

助かりました！

回答No.1

ereserve67

上の積分ではa>0とします．-a<x<aだから-π/2<θ<π/2としてx=asinθと置換する．

下の積分ではx+2=sinθ(-π/2<θ<π/2)と置換する．

arcsinなどを使えばできます．

お礼

ありがとうございましたm(__)m