確率密度関数の導出 カイ２乗分布、t、F分布

質問

統計の基礎について、教えてください。
確率密度関数がどのように導出されてきたかに興味があります。　”定義式だから”導出もなにもないと言った方もおられますが、導出したあるいは定義したかと言ったことは分か

りませんが、先人が、何かの自然現象を表すため、解析的にあるいは回帰的に式を導出あるいは定義したのだと思います。

正規分布の確率密度関数に関しては、その導出方法が、下記のURLに書かれていました。　カイ２乗分布、t、F分布等の確率密度関数も、このように求められるのでしょうか？　そ

れとも、データをよく表現する関数を当てはめた、所謂,"回帰式"なのでしょうか？　このような、基礎的なことを分かり易く書いてある図書が、なかなか探せないで困っています

。　お手数ですが、回答あるいは、このような、基礎的なことを分かり易く書いてある図書あるいは、URLをご存知の方がおられたら、回答お願いします。　英語の図書、URLでも構

いません。

正規分布の式の導出：
http://okwave.jp/qa/q2718164.html?ans_count_asc=1

回答No.2

HANANOKEIJ

ベレ出版「統計・確率の意味がわかる」
現代社「統計学という名の魔法の杖」
現代数学社「確率論史」
図書館でさがしてみてください。

お礼

ベレ出版「統計・確率の意味がわかる」は、わかり易い本ですね。　今まで疑問に思ってきたことのいくつかは、この本に書かれた解説を読むことで納得できました。　ただし、この本には本質問に関するようなことには、あまり記述がありません。　微分方程式が少々出てきてもかまいませんし、英語の本でも構いません。　統計の基礎式は、そもそもどのような意図で考え出されたのか、どのような過程を通して導入されたのか、納得できる、わかり易い図書を探しています。

紹介いただいた、本も探して読んでみます。　アドバイス、ありがとうございました。

回答No.1

alice_44

それぞれの分布には、

(自由度kの)χ二乗分布は、標準正規分布に独立に従うk個の確率変数の和が従う確率分布。

(自由度nの)t分布は、平均μ,分散Vの正規分布に独立に従うn+1個の確率変数があるとき、
n+1個のデータの標本平均をm,標本分散をUとして、確率変数 (m-μ)/√(U/n) が従う分布。

(自由度n,mの)F分布は、自由度nのχ二乗分布に従う確率変数Xと、Xとは独立に
自由度mのχ二乗分布に従う確率変数Yがあるとき、確率変数 (X/n)/(Y/m) が従う分布。

…という定義がありますから、それに沿って、
累積分布関数や確率密度関数を(式として)計算することができます。
(具体的な関数値は、数値計算で近似するしかありませんが。)

各確率密度の導出過程は、多くの統計学入門書に載っていると思いますが…

お礼

回答ありがとうございます。　

私も、それぞれの確率関数の分布の定義式や、その式を使った計算の方法が書かれている本は何冊も見つけられました。　ただし、それらの式を、どのような意図で、どのように工夫して、どのようにして導出したのか、多くの実験的データを分析して得た回帰式(近似式）なのか、理論的に導入されたのか、初心者にもわかり易くその導出過程が書かれた良書が見つけられなくて困っています。　例えば、デルタ関数、なんて誰がどのようにして、統計学に応用していったのでしょう？　そのような、入門書がありましたら、紹介いただけると助かります。

石井 俊全 (著)　”意味がわかる統計学 (BERET SCIENCE) ”が、今まで読んだ統計の本の中で一番わかり易い本で、今まで疑問に思ってきたことのいくつかは、この本に書かれた解説を読むことで納得できました。　ただし、この本には本質問に関するようなことには、あまり記述がありません。　微分方程式が少々出てきてもかまいませんし、英語の本でも構いません。　統計の基礎式は、そもそもどのような意図で考え出されたのか、どのような過程を通して導入されたのか、納得できる、わかり易い図書を探しています。