• ベストアンサー
  • 困ってます

分散が1でない場合のカイ二乗分布?

一般的な教科書で定義されているカイ二乗分布は、平均ゼロ、分散1の正規分布に従う確率変数の二乗和が従う分布として導出されています。では、分散がσ2のような一般的な場合はどうなるのでしょうか? このときのカイ二乗分布の分散だけでもわかるとよいのですが・・・、よろしくおねがいします。(この内容が記されている文献やHPの情報でも大歓迎です)

noname#112755
noname#112755

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1
  • at9_am
  • ベストアンサー率40% (1540/3760)

平均が0,分散がσ^2の正規分布に従う確率変数xの二乗和 S の分布は、次のように考えます。 z=x/σ とおけば z が標準正規分布しますから、 S/(σ^2)=Σz^2 となることから、S/(σ^2) はχ二乗分布になります。自由度が n だとすれば S/(σ^2) の分散は 2n になるので、Sの分散は (σ^2)^2・2n となります。 ただ、標準化してχ二乗分布を用いるのが一般的です。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

早速の回答ありがとうございます。 σ^2(kx) = k^2 σ^2(x) なる関係をそのまま適用していいのか少し心配で質問させていただきました。 ありがとうございました!

関連するQ&A

  • [統計学]カイ2乗分布

    カイ2乗分布について多くの入門的教科書では、 > 確率変数 X1, X2 が正規分布 N(0,1) に従うとき、 > Y = X1^2 + X2^2 で与えられる確率変数 Y はカイ2乗分布となり、 > 以下の式で表される: > (分布関数) のような説明がなされていると思います。 このとき、X1, X2 が異なる正規分布 N(e1, v1), N(e2, v2) に従う場合には、 そのカイ2乗分布はどのような式で与えられるのでしょうか。 (e = X の平均値, v = X の分散) おそらく簡単すぎるために、説明が省かれているのだろうと思うのですが、 自分にとっては簡単ではありません。 詳しく載っている書籍・ウェブサイトを挙げるだけでも構いませんので、 御教示お願いいたします。

  • カイ二乗分布の「カイ二乗値」について

    カイ二乗分布について、下記のような説明がよく見受けられます。 (a)カイ二乗値=Σ{(観測値)-(期待値)/期待値} (b)カイ二乗値=(標本サイズ*標本分散)/母分散 どちらもカイ二乗値という同じ値を表す数式だと思うのですが、 この二つはどのような関係にあるのでしょうか? 「カイ二乗値って何?どうやって求めるの?」と聞かれたとき、どちらが正解なのでしょうか? 漠然とした聞き方で申し訳ありませんが、宜しくお願いします。

  • カイ二乗分布

    確率変数Xが自由度nのカイ二乗分布に従うとき  φ(t) = E(e^(tX))を求めよ という問題に取り組んでいます。 以下のように考えました。 Xがカイ二乗分布に従うので X = X1^2 + X2^2 + X3^2 + ... + Xn^2 とおけば E(e^(tX)) =E( e^(t(X1^2 + X2^2 + X3^2 + ... + Xn^2 ))) =E(Π(1->n) e^(t(Xi^2)) ) = Π(1->n) E( e^(t(Xi^2)) = (∫(-∞->∞) e^(tx^2) f(x) dx )^n (ここでf(x) は標準正規分布N(0 1)の確率密度関数)  = (∫e^(tx^2) * (1/√(2π)) e^(-x^2) dx ) ^n とここまで計算できたのですが、 この後が計算できません。 ネット上で調べたのですが、カイ二乗分布の積率を求めるときは たいてい、カイ二乗分布の確率密度関数を使っています。 上記の計算で 解きたいのですが アドバイスをいただけないでしょうか。 お願いします。

  • カイ2乗分布表なしでカイ2乗値?

    カイ2乗分布表なしで、例えばFや正規分布表からカイ2乗値を計算することはできますか? 例えば、χ2(自由度が120)で、上側確率 pを.01とします。 これをカイ2乗分布表から算出するのは問題ないのですが(158.950)、例えば表に自由度が100までしかない場合、他の分布表からカイ2乗値を算出できる方法があれば知りたいです。 どうぞよろしくお願いいたします!

  • カイ二乗分布のパーセント点について

    母分散の区間推定などにカイ二乗分布を使うときに たとえば有意水準5%で推定するときに両側検定をすると カイ二乗分布表の上側確率0.025%の部分と0.975%の部分を見ることになりますよね。 そのとき、0.025%の部分のカイ二乗値から0.975%の部分を計算することはできるのでしょうか。 たとえば、F値の場合F(0.975)=1/F(0.025)の関係があるようにカイ二乗値にも右側と左側で関係性があるのかどうかということです。 うまく説明ができていないかもしれませんが、ご解答いただければ幸いです。

  • 確率密度関数の導出 カイ2乗分布、t、F分布

    統計の基礎について、教えてください。 確率密度関数がどのように導出されてきたかに興味があります。 ”定義式だから”導出もなにもないと言った方もおられますが、導出したあるいは定義したかと言ったことは分か りませんが、先人が、何かの自然現象を表すため、解析的にあるいは回帰的に式を導出あるいは定義したのだと思います。 正規分布の確率密度関数に関しては、その導出方法が、下記のURLに書かれていました。 カイ2乗分布、t、F分布等の確率密度関数も、このように求められるのでしょうか? そ れとも、データをよく表現する関数を当てはめた、所謂,"回帰式"なのでしょうか? このような、基礎的なことを分かり易く書いてある図書が、なかなか探せないで困っています 。 お手数ですが、回答あるいは、このような、基礎的なことを分かり易く書いてある図書あるいは、URLをご存知の方がおられたら、回答お願いします。 英語の図書、URLでも構 いません。 正規分布の式の導出: http://okwave.jp/qa/q2718164.html?ans_count_asc=1

  • カイ2乗分布

    確率変数xが標準正規分布に従うとき、E[X(2)],E[X(3)],E[X(4)]を求める時の計算方法がわかりません!教えてくださいσ(^_^;)(2)(3)(4)は二乗三乗四乗と仮定します

  • 不偏分散の分布は?

    不偏分散の分布について混乱していますので、ご助言頂けましたら幸甚です。 例えば母集団の分布を正規分布N(μ,σ^2)とした際、 標本平均x(=1/nΣxi)を区間推定する場合、正規分布の再帰性より、標本平均の分布はN(μ,(σ/√n)^2)となることから、μの区間推定が可能と理解しています。 また、若干やり様は異なりますが、標本分散s^2=1/nΣ(x-xi)^2に対し、ns^2/σ^2がΧ2分布に従うことから、σの導出が可能と理解しています。 ここで、上記と同様に、不偏分散(=1/n-1Σ(x-xi)^2)についての分布とは、どのような分布になるのでしょうか? おそらくΧ2分布になると推察しますが、証明できてません。 また、不偏分散の導出方法は、 E[S^2]、即ちS^2の平均と理解していますが、 S^2を確率変数とした際の分布がΧ2分布なのであれば、 このΧ2分布の平均が、不偏分散になってもよさそうですが、 Χ2分布の平均=n ですので、不偏分散とは不一致です。 上記のとおり、整理がついておりませんので、教えて頂けましたら助かります。 特に上記のとおり混乱しておりますので、現在はむしろ、「不偏分散については、点推定でのみ用いるのか?」と考えております。

  • カイ2乗分布?

    「コインを投げて表が出たら座標を+1し、裏が出たら-1する」 という事象をn回繰り返した場合、最終的な座標は正規分布を示すため、 その最終的な座標の期待値からのズレを考えたい場合、 カイ2乗分布を用いることになると思います。 では、コインの表が出る確率が例えば2/3のように均等でない場合はどうなるのでしょうか? 最終的な座標はおそらく正規分布ではないと思うのですが、 この場合の期待値からのズレはどうなるのでしょうか? 宜しくお願いします。

  • 正規分布の4乗和

    独立な正規分布の2乗和の分布はカイ2乗分布で有名ですが、 4乗和の分布が知りたいです。 (1)カイ2乗分布のように定式化されたものがあるのか? (2)定式化されたものがなければ、カイ2乗分布の誘導過程からの類推で導きたい。カイ2乗分布の誘導過程を教えて欲しい(自由度2以上)。 なお、指数分布の和がガンマ分布になる誘導過程もよくわかっていません。(2)の場合は、その部分も教えて下さい。