正規分布の４乗和

質問

独立な正規分布の２乗和の分布はカイ２乗分布で有名ですが、
４乗和の分布が知りたいです。
（１）カイ２乗分布のように定式化されたものがあるのか？
（２）定式化されたものがなければ、カイ２乗分布の誘導過程からの類推で導きたい。カイ２乗分布の誘導過程を教えて欲しい（自由度２以上）。

なお、指数分布の和がガンマ分布になる誘導過程もよくわかっていません。（２）の場合は、その部分も教えて下さい。

回答No.1

CPm · ベストアンサー

\sqrt: √　　　\int: ∫　　　\frac{x}{y}: x/y　　　\exp[x]: e^x　　　とします．

ここでは一般に，独立な標準正規分布（平均０，標準偏差１）の 2*m 乗和（m=1,2,...）に関する確率密度関数を求めることにします．
まず，X^4 の分布の確率密度関数は次のようになります．

g1(t) 　 = 　 \frac{1}{\sqrt{2π}}・\frac{1}{m}・t^{1/(2*m)-1}・\exp[-frac{1}{2}・t^{1/m}]

次に，X1^4　 + 　X2^4 の分布の確率密度関数は次の積分を計算すれば出ますが，一般的には計算できません．
g2(t) 　 = 　 \int_0^t　g1(t-x)*g1(x) dx

m　=　1 なら g2(t) 　 = 　 \frac{1}{2}・\exp[-\frac{t}{2}]　（自由度2のカイ2乗分布）
になります．

X1^4　 + 　X2^4 + 　X3^4 の分布の確率密度関数は次の計算をすればでます．
g3(t) 　 = 　 \int_0^t　g2(t-x)*g1(x) dx
当然ですが，m　=　1 なら自由度3のカイ2乗分布になります．
この後は予想できますね．

補足

まず、X1の確率密度分布を求め、
その条件下でX2の確率密度分布を求めるということを
順次行うということですね？
自由度1000とかだと大変なことになりそうですね。

ありがとうございます。

回答No.2

rabbit_cat

（２）ですけど、前、紹介したページに自由度１だけじゃなくて、自由度nのカイ２乗分布がガンマ分布になるという導出が載っていますが。

とりあえず、もし４乗和をきれいに定式化できる可能性があるとするならば、あのページのように、自由度１の場合について母関数を求めて、それの再帰性を証明する、って流れになると思われますので、それを試してみてください。