• ベストアンサー
  • 困ってます

統計学（t値を2乗するとF値になる）について

本に「t値を2乗するとF値になる」とあり、実際に確かめてみたところ、たしかに両者の値は一致しました。 しかし、なぜそうなるのかがわかりません。 本には、 t=（標準正規分布に従う変量）／【（自由度nのカイ2乗分布に従う変量／n）の平方根】であり、 F=【（自由度nのカイ2乗分布に従う変量）＾2／n】／【自由度mのカイ2乗分布に従う変量／m】に2乗すると一致すると解説がありました。 しかし、「tってこんな値だっけ？」という点でひっかかっています。例えば、分子は「標準正規分布に従う変量」となっていますが、私が学んできたt値の分子は例えば「得られたデータの平均－μ」や「標本平均の差」などであり、標準誤差で割らないと「標準正規分布に従う変量」にならないのでは？と思ってしまいます。分母は尚更わかりません。 どなたか、噛み砕いて教えて頂けると有難いです。宜しくお願い致します。

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

共感・応援の気持ちを伝えよう！

  • 回答数2
  • 閲覧数1543
  • ありがとう数2

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.2
noname#227064

> 「不偏分散に（N－1）／σ＾2を掛けたものが自由度N－1のカイ2乗分布に従う」だけがわかりませんでした。 (X1-μ)/σ, (X2-μ)/σ, ... (XN-μ)/σがそれぞれ標準正規分布に従うので、Σ(Xi-μ)^2/σ^2が自由度Nのカイ二乗分布に従いますが、通常は母平均μの値は未知なのでその推定量の標本平均mで代用します。 この標本平均で置き換えたΣ(Xi-m)^2/σ^2が、何故自由度N-1のカイ二乗分布に従うのかを厳密に証明しようとすると少し難しい話になります。（例えば参考URLのように） 乱暴な説明をすれば、Σ(Xi-m)^2/σ^2の分布はΣ(Xi-μ)^2/σ^2の母平均をを標本平均で置き換えただけだから、自由度Nのカイ二乗分布に似た分布になる。そして、母平均の推定したため自由度を一つ失ったので自由度N-1のカイ二乗分布に従うというのはどうでしょう。

参考URL：
http://okwave.jp/qa/q1710524.html

共感・感謝の気持ちを伝えよう！

質問者からのお礼

お手数お掛けしました。前半の解説で、「なるほど！」と思い、疑問点が氷解しました。また、「N－1のカイ2乗分布に従う」も、イメージ的に理解できました。本当にありがとうございました。

関連するQ&A

  • 統計学について

    「t分布の自由度が高いと標準正規分布とほぼ同じとみなせる」のは、例えば t（自由度N－1）=標準正規分布に従う変数／【（N－1）S＾2／σ＾2×1／（N－1）】の平方根 （S＾2は不偏分散、σ＾2は母分散） という式で考えた場合、自由度が高いとSとσがほぼ同じで、上記の式の分母がほぼ1になり、分子のみ残るから、という理解でよいでしょうか？ また、「サンプルサイズが大きくなると標本標準偏差が母標準偏差に近づく」と本に書いてありますが、この場合の標本標準偏差は偏差平方和をNで割って求めたものと、N－1で割って求めたものの、どちらの分散から計算されたと理解したらよいでしょうか？ 宜しくお願い致します。

  • 確率統計における確率分布の定理について

    検定を行うときの確率分布のあてはめで、 データをk個の事象に分けて統計量X^2を求め、それが自由度k-r-1のカイ2乗分布に従う、 rは期待値を求める際に母数で推定したももの個数で、標本平均と標本分散を使用したとすればr=2、 という定理を使うと思うのですが、 例えばデータを身長として検定を行う場合はそれを標準化して、 期待値の算出にサンプルの平均、標準偏差を使うのでr=2で自由度はk-3になりますよね？ ここで上の定理が正しいことを確かめるためにデータを1,000個ほどの標準正規乱数として、X^2を複数回求め、 その分布が実際にカイ2乗分布に従うかどうかを調べるときは自由度はどうなるのでしょうか？ 1,000個の標準正規乱数が実際に標準正規分布に従うとして平均=0、分散=1として行う場合はr=0、 また標準正規分布に従うかではなく1,000個のサンプルから新たに平均、標準偏差を求めてX^2を求める場合はr=2となると考えたのですが、これは正しいのでしょうか？ わかりにくい文ですみません。 よろしくお願いします。

  • 統計学の問題です。

    全部で2問あります。 大学生（自宅外通学生）が受け取る仕送り額（月額）Xは、平均10ドル、標準偏差10ドルの正規分布に従っていることがわかっている。 ここから100人を無作為に抽出したとき、次の問いに答えなさい。 (1)100人からなる標本の標本平均Xバーは、正規分布に従う。 平均と分散はそれぞれいくつか。 (2)ゆとりのある生活のためには最低月額12ドルが必要である、という。 ここでの標本平均が12ドルを超える確率は何％か。 お願い致します。

もっと見る

その他の回答 (1)

  • 回答No.1
noname#227064

X1, X2, ... XNをiidに平均がμ、分散がσ^2の正規分布に従う確率変数とします。 このとき、標本平均mは平均がμ、分散がσ^2/Nの正規分布に従い、不偏分散s^2に(N-1)/σ^2をかけたものは自由度N-1のカイ二乗分布に従います。 ここまではOKですよね。 さて、あなたが学んだｔ値は、 t = (m-μ)/(s/√N) でしょうが、これの分子と分母をそれぞれσ/√Nで割ってみましょう。 t = {(m-μ)/(σ/√N)}/{(s/√N)/(σ/√N)} = {(m-μ)/(σ/√N)}/(s/σ) = {(m-μ)/(σ/√N)}/√[{(N-1)s^2}/{(N-1)σ^2}] 標本平均mは平均がμ、分散がσ^2/Nの正規分布に従いますので、 (m-μ)/(σ/√N) は標準正規分布に従い、 (N-1)s^2/σ^2 はカイ二乗分布に従いますので、 結局、 t = (m-μ)/(s/√N) = （標準正規分布に従う変量）／【（自由度N-1のカイ2乗分布に従う変量／(N-1)）の平方根】 となります。

共感・感謝の気持ちを伝えよう！

質問者からのお礼

ご回答有難うございました。一点を除きすべてすっきりわかりました。恥ずかしながら、私の現在の知識は、「標準正規分布に従う変量をN個持ってきて、それらを2乗したものを足したのがカイ2乗分布」程度なので、「不偏分散に（N－1）／σ＾2を掛けたものが自由度N－1のカイ2乗分布に従う」だけがわかりませんでした。もしよろしければ、この点も教えて頂けると有難いです。

関連するQ&A

  • 統計学の問題

    早速ですが問題を書かせてもらいます. 身長の分布は正規分布N（170.5 , 36）に従うと仮定する. (1)N（170.5 , 36）からの大きさ10の無作為標本の標本平均の分布は何か. (2)前問における身長の平均をx0とおく.(1)の標本平均がx0より大きくなる確率を求めよ. 質問内容は２つあります.まず、(1)の「N（170.5 , 36）からの大きさ10の無作為標本」とはどういう意味なのでしょうか.また(2)の「前問における身長の平均」とは170.5のことなのでしょうか. よろしくお願いします.

  • 統計学？

    初めて投稿します。まともに勉強もしないで生きてきて全然わからない問題あります。 Aの測定値は、平均値μ1、標準偏差のα1の分布 Bの測定値は、平均値μ2、標準偏差のα2の分布 Aの測定値の分布とBの測定値の分布から１つずつの値を抜き取ったとして Aの測定値－Bの測定値という値を計算すると、その分布は正規分布する。 正規分布の平均値と標準偏差は下記のとおりである。 平均値μ＝μ1－μ2である。なぜこうなるのかを記述せよ。 さらに標準偏差を導きなさい。 言葉の意味も含めて教えていただけるとうれしいです。よろしくお願いいたします。

  • 統計学の問題です

    正規分布、次の問題をお願いします。 ある学校の入学試験に５００人の応募があった。試験の結果、１００点満点 で平均点は７０点、標準偏差は５点であった。上位３００人を合格とするとき 、何点以上が合格となるか。ただし受験生の得点は正規分布に従うと仮定する。 模範解答では μ＝70 σ＝５ 500-300/500=0.4=P(Z≧ x-70/5)=P(-0.255≧x-70/5) 正規分布表より P（0.25≧ｚ）＝0.5987 P(0.26≧ｚ）＝0.6026 したがってx-70/5=-0.255から、ｘ＝68.725 よって６９点以上 とあるのですが-0.255というのはどこから出てきた何を表す値なのでしょうか？

  • 統計学　区間推定について

    信頼区間を求めるときに、ｚの式を作ると思うのですが、その公式が理解できません。 以前正規分布を学んでいたときは、ｚの分母はただの母集団の標準偏差だったのに、 なぜ信頼区間を求めるときは、それをｎ（標本数）の平方根でわるのですか？ わかりにくかったらすみません。 詳しい方、教えてください。

  • 統計学の標本についてです

    下記の問いが分からずに困っています。 手計算でも良いですが、可能ならばExcelでの求め方も教えて頂けると幸いです。 １．平均100、分散1000の正規分布に従う母集団から10個の無作為標本を抽出する。 （１）標本平均の分布は？ （２）標本平均値が110を越える確立はいくつか？ ２．母比率が0.3である場合、その母集団からの100個の無作為標本に基づく標本比率が0.4を上回る確立はどの程度か？ （１）標本比率の分布は？ （２）その分布で0.4以上の値を得る確立は？ よろしくお願いいたしします。

  • 統計学の問題です。

    確率変数X1,・・・,Xnが正規分布N(μ、σ^2)に従うとき、標本平均X=(X1+・・・+Xn)/nは正規分布N(μ、σ^2/n)に従う。母分散10^2の正規母集団から無作為に9個のデータx1,・・・,x9を抽出したところ、x1+・・・+x9=720であった。 このとき、母平均μを信頼係数95%で区間推定した結果は（１）＜μ＜（２）となる。 答.(1)73.47 (2)86.53 答えはわかっているんですが、導き方がわかりません。 途中式を全てわかりやすく書いていただけるとありがたいです。

  • 統計学について

    統計学の問題です。全然わからなくて困っています。解答、解説をよろしくお願いします。問題は以下です。 ある合板は量産されていて、表板と裏板の2層から成っている。表板の厚さXは平均0.4cm,標準偏差0.03cmの正規分布に従い、裏板の厚さYは平均0.6cm、標準偏差0.04ｃｍの正規分布に従うとする。このとき、合板の厚さZ=X+Yはどのような分布に従うか。ただし、張り合わす合板の表裏は独立とする。

  • 統計学の問題

    統計学の問題で ある工場での日給の平均が$50で標準偏差が$10の正規分布をしている。上記の確率変数の日給が＄40から＄120の値を取る確率はなにか? という問題なのですが、どうやって求めたらいいのかが皆目見当つきません。どうやって求めたらいいのでしょうか？

  • 統計学について質問です。

    統計学について質問です。 統計学が全然わかりません。 正規分布、とT分布の違いがよくわかりません。 正規分布が十分に大きいｎ個のサンプルを取り出す。母集団の平均、標準偏差がわかっている。 これってどういうときに使うのでしょうか？ そもそも母集団平均がわかっている状況って存在するのですか？？ 正規分布、T分布、F分布、ガウス分布、ポアソン分布などいろいろありますが、何が何だかわかりません。理工系の統計術として最低限知っておきたいので、わかりやすくお願いいたします。

  • ［統計学］カイ2乗分布

    カイ2乗分布について多くの入門的教科書では、 > 確率変数 X1, X2 が正規分布 N(0,1) に従うとき、 > Y = X1^2 + X2^2 で与えられる確率変数 Y はカイ2乗分布となり、 > 以下の式で表される： > （分布関数） のような説明がなされていると思います。 このとき、X1, X2 が異なる正規分布 N(e1, v1), N(e2, v2) に従う場合には、 そのカイ2乗分布はどのような式で与えられるのでしょうか。 （e = X の平均値， v = X の分散） おそらく簡単すぎるために、説明が省かれているのだろうと思うのですが、 自分にとっては簡単ではありません。 詳しく載っている書籍・ウェブサイトを挙げるだけでも構いませんので、 御教示お願いいたします。

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する