カイ二乗分布の「カイ二乗値」について

質問

カイ二乗分布について、下記のような説明がよく見受けられます。
(a)カイ二乗値＝Σ｛(観測値)-(期待値)／期待値｝
(b)カイ二乗値＝（標本サイズ*標本分散）／母分散
どちらもカイ二乗値という同じ値を表す数式だと思うのですが、
この二つはどのような関係にあるのでしょうか？
「カイ二乗値って何？どうやって求めるの？」と聞かれたとき、どちらが正解なのでしょうか？

漠然とした聞き方で申し訳ありませんが、宜しくお願いします。

回答No.3

goma_2000 · ベストアンサー

a)のカイ2乗値は適合度検定などに用いられる時のカイ2乗値になっています。
b)のカイ2乗値は標準正規分布に従う母集団の母分散の検定に用いられる指標になっています。

ですので、
標準正規分布から無作為に選んだ大きさｎの標本値の２乗値の合計は自由度ｎのカイ２乗分布に従う。

というこは、
標準正規分布から無作為に選んだ大きさｎの標本値の２乗値の合計をAとでもしますと、このAはカイ2乗分布に従うので、カイ2乗値ということになります。

Aを定式化すると、(x-μ/σ)で変数の標準化を行い、それの2乗和を取ればよく、

　A＝Σ(x-μ/σ)^2
　μはbの平均、σは母標準偏差

となります。

どちらも、検定で用いる指標がカイ2乗分布となることから、カイ2乗値という呼び方をしています。適合度検定で用いられるカイ2乗値はピアソンの適合度基準という呼び方もあるようです。共通するのはどちらもデータのばらつきに関する検定で用いられていることでしょうか。

お礼

なるほど、変数の標準化をしていたのですね。
よく分かりました。
何度も回答していただき、どうもありがとうございました。

回答No.2

goma_2000

お恥ずかしいです。。。

これはカイ2乗分布の話ですね。

(b)はカイ2乗分布の性質

標準正規分布から無作為に選んだ大きさｎの標本値の２乗値の合計は自由度ｎのカイ２乗分布に従う。

から来ています。

カイ2乗値＝Σ(x-μ/σ)^2
μはbの平均、σは母標準偏差

というとことです。

補足

補足ありがとうございます。
申し訳ありませんが、
--
　カイ2乗値＝Σ(x-μ/σ)^2
　μはbの平均、σは母標準偏差
--
の部分をもう少し詳しく教えていただけないでしょうか？
重ね重ねすみません。

回答No.1

goma_2000

定義が若干、違うようですね。

(a)カイ2乗値＝Σ｛((観測値)-(期待値))^2／期待値｝
(b)カイ二乗値＝（標本サイズ*標本分散）／母平均

ではないでしょうか。

標本分散は、(観測地-期待値)^2/標本サイズです。
母平均は期待値です。

ですので、上記の2つの式は同じ式になります。

質問の答えとしてはどちらも同じです。ということになります。

補足

回答ありがとうございます。
(a)はご指摘のとおりでした。
(b)についてですが、分母の「母平均」と書かれているところなのですが、
手元にある書籍にはいずれも「σ^2」とあります。
これは母分散のことではないのでしょうか？