Lorentz群の表現

質問

(1)ローレンツ群の6個の生成子M^{μν}から２つの独立したSU(2)に分解？しますよね。
便宜上SU(2)L×SU(2)RとするとそれぞれのSU(2)は既約表現はよく知られているように
|j,m>のようになるので全体としては|j,m>|j',m'>というテンソル積で表現が書けるということでしょうか？

(2)そうだとして、その表現は一般に可約ですよね？SU(2)Lの既約表現はjで、SU(2)Rはj'で指定されるのでSU(2)L×SU(2)Rの表現は(j,j')で指定できますが、(1/2,1/2)はベクトル場に対する表現で既約だと教科書に書いてありました。(1)が正しいならこれは可約でSU(2)のスピン1表現とスピン0表現に既約分解できるとおもいます。どちらが正しいのでしょうか？

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

>テンソル積で構成した表現はLorentz群としては既約であるが、SU(2)としては可約であるということでしょうか？
yesと言っても良さそうですが、一応正確に書いておくと、
SU(2)の既約表現D_L,D_Rと、SU(2)L×SU(2)R(=Lorentz群)の元を(g_L,g_R)とした時、
(D_L×D_R)(g_L,g_R) = D_L(g_L)×D_R(g_R)
と定義すると、このD_L×D_RはLorentz群の既約表現になります。

一方上で定義したD_L×D_RとSU(2)の元gに対して、
D(g)=(D_L×D_R)(g,g) = D_L(g)×D_R(g)
と定義すると、DはSU(2)の表現ですが既約表現であるとは限りません。。
※やっている事は(g,g)の形の元の全体がLorentz群の部分群になるので、D_L×D_Rをこの部分群に制限しただけです。こうやって部分群に制限した時に元の群で既約(可約)だからと言って、部分群でも既約(可約)である保証はありませんよね。

前者は「SU(2)同士の直積群の表現」の話で、後者は「SU(2)の既約表現同士の直積表現」の話です。

>テンソル積空間に作用する表現はSU(2)Lの表現をD_LなどとするとD_L×D_Rとなりますが、これはローレンツ群の元ではないのですか？
「これ」とはどれの事ですか？D_L×D_Rの事ならこれはLorentz群の元ではありません。表現です。
Lorentz群の表現なのにこれがなんでSU(2)の表現とみなせるのかが疑問なら、上に書いた事で解決するでしょうか。D_LとD_Rの直積表現を考えているからと言ってもいいでしょうね。

後半に関して。
>ローレンツ群の6個の生成子M^{μν}から２つの独立したSU(2)に分解？しますよね。
ココで仰っている２組の独立した生成子たちの『和』を考えると、空間部分の回転の生成子になりますよね。また、空間部分の回転の全体(回転群)はLorentz群の部分群ですので、
角運動量の合成と同じことをやって出てくるjの値は、この回転群の既約表現に対応したものになっているのです。

ベクトル場に対応するLorentz群の表現を回転群に制限すると、
時間成分と空間成分は空間部分の回転では混ざりませんので
時間成分(スカラー,j=0)と、空間成分(ベクトル,j=1)に既約分解されるはずです。
実際にそうなっているのは(1/2,1/2)でラベルされる表現しかありませんよね。

※念のため、かなり昔の記憶で書いている部分が多いので真偽は自分で考えて確かめて下さい。

お礼

ありがとうございました。最初の疑問はほぼ解決できました。

>「これ」とはどれの事ですか？
D_L×D_Rのことです。一応表現も行列群への準同型写像なので元という言葉をつかいました。

回答No.1

eatern27

教科書には『ローレンツ群』の既約表現であると書いてあって、
貴方は『SU(2)』の既約表現に分解できると言っているのならどちらも正しいです。
しかし、貴方の考えている既約分解の話はこの文脈では関係がありません。

補足

回答有り難うございます。

ちょっと混乱してしまいました。深く考えずに質問しますが、テンソル積で構成した表現はLorentz群としては既約であるが、SU(2)としては可約であるということでしょうか？
テンソル積空間に作用する表現はSU(2)Lの表現をD_LなどとするとD_L×D_Rとなりますが、これはローレンツ群の元ではないのですか？

それと、このような質問をしたのはベクトル場に対する表現が(1/2,1/2)であるという根拠が以下のように書かれていたからです。
(j,j')=(1/2,1/2)はベクトル場に対する表現ですが、4次元表現は(0,3/2)と(3/2,0)でも作れるわけで、なぜ(1/2,1/2)がベクトル場の表現に対応するかというと２つのSU(2)のJ_3値の和が(0,3/2)と(3/2,0)の場合は3/2だけなのに対して(2,2)は0と1があるからと書いてあったからです。0が回転に対して時間成分がスカラーであることに対応するそうです。J_3値の和というのはテンソル積空間に対して表現D_L×D_Rを作るとその生成子はJ_i×1+1×J_iのように和になるのでテンソル積で表現を構成して既約分解してスピン1表現とスピン0表現に分けたのかなと思いました。この考え方は正しいでしょうか？