ローレンツ群の表現

質問

SO(1,3)をSU(2)×SU(2)に分解したときについて質問です。

SO(1,3)→SU(2)×SU(2)というのは元々のSO(1,3)を二つの群に分け(ただし、単位元は共有している)、一方のSU(2)の元と他方のSU(2)の元は可換になっているという理解で正しいでしょうか？

もう一つ質問です。このSU(2)×SU(2)の既約表現が(2j1+1)(2j2+1)次元となるのがわかりません。
j1,j2はそれぞれのSU(2)の最高ウェイトです。

よろしくお願いします。

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

あっという間に斯界の権威からすばらしい回答の数々が山のように寄せられて心強い限りですね。だから私の回答など不要でしょうが...

SU(2)×SU(2)というのはSO(1,3)の元が二つの成分を持つということであり、群が二つに分割されるということとは違うと思います。

SU(2)はJzがカシミール作用素であり、J^2の固有値がj(j+1)の既約表現は
　｜-j〉,｜-j+1〉,…｜j〉

を基底とする(2j+1)次元となることはご存知ですよね？SU(2)×SU(2)ならば当然

　｜-j1〉｜-j2〉,｜-j1〉｜-j2+1〉,…｜-j1〉｜j2〉
　　…
　…
　｜j1〉｜-j2〉,｜j1〉｜-j2+1〉,…｜j1〉｜j2〉
の(2j1+1)(2j2+1)次元となるでしょう