解説してください

質問

平行６面体の体積を ±（ｖ×ｗ）・ｕとあらわせることを証明する
問題で以下のように回答をいただいたのですが１部分分かりません。
教えてください。

ーもらった解答ー
ｖとｗのなす角度をφとするとき
外積の大きさは ∥ｖ×ｗ∥＝∥ｖ∥×∥ｗ∥×ｓｉｎφ
外積のベクトルはｖに垂直で、かつ、ｗに垂直なベクトルとなる。すなわち、ｖとｗで作る平面に垂直となるベクトルである。

ベクトルｕと（ｖとｗで作る平面）の角度をθとする
ｕと（ｖ×ｗ）の角度は９０度－θ又は９０度＋θとなる。
角度が９０ーθのときの体積は以下である。
体積＝∥S∥×∥ｕ∥ｓｉｎ（９０－Θ）　←ここの部分が分からないです。
　　＝∥Ｓ∥×∥ｕ∥ｃｏｓθ
　　＝（ｖ×ｗ）・ｕ
となる。

角度が９０＋θのときの体積は以下である。
体積＝S×∥ｕ∥ｓｉｎ（９０＋Θ）
　　＝Ｓ×∥ｕ∥（－ｃｏｓθ）
　　＝－（ｖ×ｗ）・ｕ
となる。

体積は±（ｖ×ｗ）・ｕ　となる。

途中矢印を入れさせてもらった部分がなぜそれを代入するか分かりません。
その代入ではｈではなくｖとｗで構成される平面に平行になる部分の長さになってしまう
と思うのですが解説していただけますか？

回答No.1

suima · ベストアンサー

90+θのときもほとんど同じなので、90-θのときだけ答えます。

vとwで構成される平面をαとおきます。
(aの文字は、スペースの調整に使ってるだけなので気にしないでください）

ベクトルu（右上方向）
aaaaaa/|
aaaaa/a|
aaaa/aa|
aaa/aaa|
aa/aaaa| ←この長さがh=∥u∥sin(90-θ)
a/aaaaa|
/90-θ |垂直 　
----------平面α

ってな感じで、sinが平面αに対する垂直成分です。
∥S∥=∥v×w∥が底面積、
h=∥u∥sin(90-θ)が高さ
だから、(底面積)・(高さ)で体積になるはずです。