にゃんこ先生の自作問題、立方体の影(の一部)から元の立方体を復元するには

質問

にゃんこ先生といいます。

3次元空間の原点を始点として、互いに直交し、大きさが等しい3つのベクトルi,j,kがあったとします。この順に右手系とします。

このとき、i,jをxy平面に正射影したときの2つの平面ベクトルがそれぞれ、
u=(a,b), v=(c,d)
であることが分かっているとき、kの正射影ベクトルwはu,ｖを用いてどのようにかけるのでしょうか?
さらに、もとのi,j,kをu,ｖを用いてどのようにかけるのでしょうか?

もとのi,j,kには、4の自由度があります。
にゃぜなら、i,iの成分にはそれぞれ3つずつ合計6の自由度がありますが、大きさが等しく直交するという条件から自由度が2減り、またこのとき、kは一意に定まるので。
ところで、u=(a,b), v=(c,d)には、4つの情報があるので、理論的には以上のようにゃ'復元'ができるとは思います。

内積や外積を用いて考えているのですが、よくわかりません。
いい知恵がありましたら教えてください。

回答No.2

noname#63284 · ベストアンサー

i=u+x,j=v+yと書きます。
x=(0,0,X), y=(0,0,Y) とおきます。
u,v ⊥ x,y に注意。

i^2 = j^2 より、(u+x)^2 = (v+y)^2
u・x = v・y = 0 より、u^2+x^2 = v^2+y^2
x^2-y^2 = v^2-u^2
故に、X^2-Y^2 = v^2-u^2

0 = i・j = (u+x)・(v+y) = u・v + x・y
故に、XY = - u・v
故に、X^2 Y^2 = (u・v)^2

X^2 (X^2 + u^2 - v^2) = (u・v)^2
X^4 + (u^2-v^2)X^2 - (u・v)^2 = 0
X^2 = [- (u^2 - v^2) + √[(u^2-v^2)^2 +4(u・v)^2]]/2
Y^2 = [+ (u^2 - v^2) + √[(u^2-v^2)^2 +4(u・v)^2]]/2

X = √([- (u^2 - v^2) + √[(u^2-v^2)^2 +4(u・v)^2]]/2)
Y = √([+ (u^2 - v^2) + √[(u^2-v^2)^2 +4(u・v)^2]]/2)
と求まる。

k=i×j=(u+x)×(v+y) = u×v + u×y + x×v
u×v // (0,0,1)
u×y, v×x ⊥ (0,0,1)

故に、w = u×y + x×v = Y(b,-a,0) + X(d,-c,0)
すなわち、
w = (d,-c,0)√([- (u^2 - v^2) + √[(u^2-v^2)^2 +4(u・v)^2]]/2)
　　+(b,-a,0)√([+ (u^2 - v^2) + √[(u^2-v^2)^2 +4(u・v)^2]]/2)

もっと整理できるのかもしれませんが、一応、求まりました。

お礼

すばらしい回答をありがとうございます。たいへんよくわかりました。

回答No.4

tomtom_

コンピュータ・ビジョンという分野の問題です．

「"Shape from shadow" ビジョン」などというキーワードで検索なさってみてはいかがでしょうか．

回答No.3

kabaokaba

あーkではなくて
kの正射影ベクトルだった
失礼．

回答No.1

kabaokaba

i=(1,0,0)
j=(0,1,0)
k=(0,0,1)

i=(1,0,1)
j=(0,1,1)
k=(-1,-1,1)*(\sqrt{2}/\sqrt{3})

射影すれば情報は欠落する