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正射影ベクトル 

正射影ベクトルについて質問させて頂きます。 以前、内積の商はなぜないのかと言う質問をさせて頂きました。 URL:http://okwave.jp/qa/q7403145.html#answer 親切丁寧なご回答のおかげで理解することができました。 その節はありがとうございました。 さて本題ですが(添付画像を参照下さい)、 vベクトルの正射影ベクトルをv’とすると、v’の長さは|v’|は |v’|=v・w/|w|であることは理解できます。 正射影ベクトルは|v’|にwの単位方向ベクトルw/|w|を掛けて表され、 v’=(v・w/|w|)・(w/|w|)とされます。 上の定義は特に問題ないでしょうか? ここで疑問なのですが、v’=(v・w/|w|)・(w/|w|)について (v・w/|w|)はスカラーで(w/|w|)はベクトルですよね。 スカラー・ベクトルとはただの掛け算という認識で良いでしょうか? もちろん内積ではありませんよね? 以上、ご回答よろしくお願い致します。

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> 現在、外積の商も内積と同じく定義できないことを示そうと
  3次元ベクトルa=(1,0,0)について、a×bが同じになっちゃう3次元ベクトルbが複数ある、ということを示せば十分ですね。  内積は何次元でも同じことで、要するに「似ている度合い」を測るための非常に基本的な演算です。解析学では関数同士の内積   f・g = ∫{x=-∞~∞}f(x)g(x)dx なんてものもあります。  一方、外積を3次元ベクトル以外へ拡張するやりかたはイロイロあります。目的に応じて、どういう特徴を活かすように拡張するか、による訳です。しかし現段階では、こっちには深入りしないのが吉かと思います。

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。 理解できない点があるので再度質問させて頂きます。 正射影ベクトルについては理解できました。

質問者からの補足

いつもご回答ありがとうございます。 ベクトルa=(1,0,0)とベクトルbの外積を以下に示すと、 (1,0,0)×(0,0,1)=(0,-1,0) (1,0,0)×(1,0,1)=(0,-1,0) とベクトルbが複数存在します。 よって、ベクトルbがただ一つ決まらない事から 外積において商が定義されない。 上の内容でOKでしょうか? また、内積ですが何次元でも定義可能なのですね。 スカラー同士の内積は存在しないと思うので最低でも 2次元以上と言うことでしょうか? 外積も同じで2次元以上で使われるという認識でOKでしょうか? 以上、お手数をお掛けしますがご回答よろしくお願い致します。

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その他の回答 (4)

  • 回答No.4

> c(w1,w2,w3)と表したほうが良いのか、(cw1,cw2,cw3)と表したほうが > 良いのかどちらが良いのでしょうか? 「(x+1)^2 と表したほうが良いのか、 x^2+2x+1と表したほうがいいのか、どちらが良いですか?」という質問と同じこと。いくら何でもアホらし過ぎます。

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。 すいません。ちょっとアホらし過ぎる質問でした。 ありがとうございました。

質問者からの補足

いつもご回答ありがとうございます。 >「(x+1)^2 と表したほうが良いのか、 x^2+2x+1と表したほうがいいのか、 >どちらが良いですか?」という質問と同じこと。いくら何でもアホらし過ぎます。 どちらでもOKということですね。 すいません。。。自分の考えが間違っているんでは?と全て疑うようになって しまったものですから、つい考えればわかるような事も質問してしまいました。 こちらから追加質問で申し訳ないのですが、 現在、外積の商も内積と同じく定義できないことを示そうと しております。どちらの商も深く掘り下げて勉強する気はないのですが、 内積を示して外積を示さないのはちょっと気持ち悪かったので。。。 内積の場合は特に気にならなかったのですが、 具体的に自分でベクトルを与えると外積は3次元で 使われるもので内積は2次元と3次元で使われるもの? と考えたのですが、どちらもn次元に拡張して考えたりするのでしょうか? また、外積が2次元で考えられたりすることってありませんよね? 以上、追加質問で申し訳ありませんがご回答よろしくお願い致します。

  • 回答No.3

ANo.2のコメントについて、みんなオケです。内積の計算はもう大丈夫ですね。

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質問者からの補足

いつも親切にご回答ありがとうございます。 理解できました。 V=((v1w1+v2w2+v3w3)/(w1^2+w2^2+w3^2))(w1,w2,w3) という計算についてですが、 (v1w1+v2w2+v3w3)/(w1^2+w2^2+w3^2)の計算結果をcとすると、 c(w1,w2,w3)と表したほうが良いのか、(cw1,cw2,cw3)と表したほうが 良いのかどちらが良いのでしょうか? とくに決まりはなくどちらでも良いのでしょうか? ご回答よろしくお願い致します。

  • 回答No.2

> v’=(v・w/|w|)・(w/|w|)  wが零ベクトルではないときの話ですね。  "・"を内積の意味で使う式では、普通、"・"は内積のところにだけ書きます。お書きの2つ目の"・"の所は内積ではなくスカラーのかけ算ですから、   v’=((v・w)/|w|)(w/|w|)   =((v・w)/(|w|^2))w とやる方が良いでしょう。ベクトルv'とは実数((v・w)/(|w|^2))をwの各成分にかけ算したものだ、ということが分かりやすくなります。  p,qが実数(スカラー)でx,yがベクトルのとき、  (px)・(qy) = pq(x・y) ですから、 > |v’|=v・w/|w|   |v'| = √(v'・v')   = √{(((v・w)/(|w|^2))w)・(((v・w)/(|w|^2))w)}   =√{(((v・w)/(|w|^2))^2)(w・w)}   =√{(((v・w)/(|w|^2))^2)(|w|^2)}   =√{(v・w)^2/(|w|^2)}   =|(v・w)/|w||  …*   =|v・w|/|w| ここで、*式の外側の| |は実数に関する普通の絶対値ですが、|w|はベクトルwの長さ、すなわち√(w・w)のことです。(√a とは「2乗したらaになる非負の数」という意味だから、√を取り除く時に外側の| |が付いたわけです。)  なお、「v'」とお書きですけど、プライム「'」は転置 (transpose。縦ベクトルなら横ベクトルに、横ベクトルなら縦ベクトルに変換する操作)の意味でも用いられます。転置を表すには、右肩や左肩にTあるいはtを乗せる流儀もあり、特に「左肩にTかt」が紛らわしくなくてお薦めなんですが、このイタではうまく書けないので、仕方なく「右肩にプライム」を使うことになります。  なので、プライム「'」は転置以外の意味では使わない方が、無用の混乱を避けられるでしょう。  なお、ベクトルの内積は(ベクトルv,wをn行1列の行列と見て)行列の積の意味で    v・w = v' w (ただし、プライムは転置の意味) と表せます。このため、ベクトルと行列が両方出て来る話の時には("・"は使わないで)右辺のように転置を使って書くことが多いと思います。

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質問者からの補足

ご回答ありがとうございます。 理解できました。 >"・"を内積の意味で使う式では、普通、"・"は内積の >ところにだけに書きます。 混乱のもとになりますので、そのようにします。 転置行列に関しては、t^A,A^T,A^trという表現をしてました。 私も、t^Aで表しています。 プライムを使う流儀もあるのですね。知りませんでした。 v・w = v' w (ただし、プライムは転置の意味) についても理解できました。 1行n列とn行1列の行列の積は内積と等しくなりますね。 もちろん、行列の積において交換法則は成り立ちませんから (成り立つ場合もある)n行1列と1行n列の行列の積はスカラーに はならず、n行n列の行列になりますね。 具体的にv=(v1,v2,v3),w=(w1,w2,w3)と与えられた場合に、 vの正射影ベクトルをVと表して計算すると、 V=((v1w1+v2w2+v3w3)/(w1^2+w2^2+w3^2))(w1,w2,w3) という計算で合っていますでしょうか? 以上、お手数をお掛けしますがご回答よろしくお願い致します。

  • 回答No.1

>|v’|=v・w/|w|であることは理解できます。 厳密には右辺の絶対値をとる必要があるでしょうね。 >スカラー・ベクトルとはただの掛け算という認識で良いでしょうか? 普通はスカラー倍などと呼ぶでしょうか。

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