数学で矛盾？が生じました

質問

数学で矛盾？が生じました

恐らく自分の勘違いによるものですが、自分でも解決できなかったので質問させていただきます
まず
n!=n*(n-1)*(n-2)*...*1より
n!=n*(n-1)!を得ます
また
0!=1をn!=n*(n-1)!に代入すると
1=0*(-1)!
1=0
この等式が矛盾していることは視覚的に捉えることができます

なぜこうなるのか考えたのですがはっきりとした答えが出ません
この等式の間違いをご教授下さい

回答No.6

alice_44 · ベストアンサー

n! を更に広い範囲の n へ拡張する方法として、
Γ(x) = ∫[0～∞] e^(-t) t^(x-1) dt と置くと
自然数 n に対して Γ(n) = (n-1)! が成り立つことから、
自然数以外の正数 x についても x! = Γ(x+1) で
定義してしまうという手がある。(1/2)! = √π とかね。
0! = 1 も、これによって正当化される。

そのように拡張しても、依然として (x+1)! = (x+1)・x!
は成り立つから、x! = (x+1)!/(x+1) を使って
x<0 に対しても x! を定義することができる。
…ただし、x が負の整数でない限りは。

上記のように拡張した x! では、lim[x→(-n)] x! = ∞
(ただし n が自然数のとき)となっていて、
÷0 が生じるから負数の階乗が定義できない という事情
と符合する。

お礼

たしかにlim[x→(-n)]x!=∞とlim[x→0]1/x=∞は似ていますね...
階乗と0除算に繋がりがあるという事は素直に驚きました
一見単純そうに見えて奥が深い階乗には、どこかしら素数に似たものがあるようです
親切なご回答ありがとうございました

回答No.5

eclipse2maven

n!=n*(n-1)

0代入しなくても　１で十分

1!=1*0=0

これだったら　3!=4!=0　でもいいんじゃない？

ようは上の式は　nは2以上の整数じゃないと使えない。

お礼

回答ありがとうございます
説明が下手ですみません...n!=n*(n-1)じゃなくてn!=n*(n-1)!です
従ってn=1のとき1!=1*0! 1=1ということです

回答No.4

Tacosan

そもそも
0!=1をn!=n*(n-1)!に代入すると
が可能かどうか検討していないのがおかしい.

百京歩譲って
0!=1をn!=n*(n-1)!に代入すると
を認めたとしても
1=0*(-1)!
1=0
の部分は明らかにおかしいやね.

お礼

回答ありがとうございます
だから何故こうなるのかを質問しているのです

回答No.3

suko22

＞n!=n*(n-1)*(n-2)*...*1より
これが階乗の定義です。
順列で言うnPnと同じですね。

右辺のような掛け算を！の記号を使ってn！と書けばいろいろと便利だね、ということで自然数の範囲で定義しています。数Aの教科書を見てください。それ以上でもそれ以下でもありません。

＞n!=n*(n-1)!を得ます
これは当たり前ですね。

＞0!=1をn!=n*(n-1)!に代入すると
まず文章の意味がわかりません。何を右の式に代入したのかわかりません。
そもそも0！＝1とはどうやって定義したのですか？

おそらく高校数学の数A順列の分野では、
nPrの一般化の式を習ったと思います。
例えば、
5P3=5*4*3=5!/(5-3)!=5!/2!
5P5=5*4*3*2*1=5!/(5-5)!=5!/0!
ここで0！って？となります。
これを決めないと5P5が一般化できません。そこで0!=1と順列の分野では定義したのです。
すると上手く順列が公式として一般化できるからです。
∴nPr=n*(n-1)*(n-2)*・・・*(n-r+1)=n!/(n-r)!・・・※
これで順列の公式を自由に使えることになります。公式として自由に使えるようにするための要請が0!=1の定義であると考えることも出来ます。

だから、例えばn!=n*(n-1)!にn=0を代入すると、
0!=0*(-1)!となり(-1)!がなんなのかわからないので計算できません。
というかそれ以前にｎは自然数なので0！が定義されていないままにn=0を代入できません。

n=1（これは自然数なのでOK)を代入すると、
1!=1*0!
1=1*0!
0!=1と0!の値を導くことが可能です。
そしてこれをn!の拡張と考えてnははじめ自然数と定義していたけど、0まで含めて考えると※のように順列が公式として一般化できるメリットがあるので採用したということではないでしょうか。

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ちょっと話はそれますが、
x^2=5
x=±√5

x^2=-5
上と同じようにして解くと
x=±√(-5)

√(-5)って実数ではないので数Iの範囲までは解とは考えません。
しかし、√(-1)=i（虚数）と定義すると、
この方程式の解は
x=±√5*i
となり解は存在します。この解を虚数解といいます。
このように２次方程式の解を実数に限らずiを定義すると、どんな場合にも解が存在することになります。（実数解、虚数解）。この拡張について考えると、i^2=-1とiは２乗すると実数になるという興味深い性質があります。だからへんてこりんなiを導入して数の概念を拡張をしたのです。

数学には決まりがあって、その範囲で基本は議論しなければなりません。必要となったときに上記のように決まりを拡張していきます。そして議論できる範囲を広げていきます。
これが数学です。
と私は考えています。（私は数学専門ではないのでこの考えが正しいのかはよくわかりません）
こんな考え方もあると参考にしてみてください。

お礼

回答ありがとうございます
>数学には決まりがあって、その範囲で基本は議論しなければなりません。必要となったときに上記のように決まりを拡張していきます。
なるほどです。順列で扱われる0!と代数学で使われる0!は定義が異なるということですね。

回答No.2

alice_44

逆に、(-1)! = 1/0 となってしまうから
階乗を拡張しようとしても (-1)! は定義できない
と考えるのが、スナオなんじゃない？

お礼

回答ありがとうございます
(-1)!を許してしまうと0徐算も許してしまうんですか...これは確かに駄目ですね
大変参考になりました

回答No.1

Rice-Etude

VEDONICさん自身が
＞n!=n*(n-1)*(n-2)*...*1
と書いてあるとおり、nは負の値を取れないという定義になっています。なので
＞1=0*(-1)!
の「(-1)!」が定義できないでいます。

参考URLをご覧いただくとおわかりになりますが、
n!＝1 [n=0]
またはΠ_{k=1}^{n}k [n=>1]
で定義されるものですので、ご質問のような展開ができないもとなります。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%97

お礼

回答ありがとうございます
どうやら0!の扱いを間違えていたようです
数学って本当に難しい学問ですね...