代数学、部分群の位数に関する問

質問

問題は添付画像を参照してください。
ある程度のイメージは付いていますが、解法・証明の道筋が全く見えません。
ご指導よろしくお願いします。
可能であれば具体的な解法であるとうれしいです。

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

シローの定理を使います。

（シローの定理）

Gを有限群、pを素数とする。Gの部分群のうち、位数がpべきのものをp-群という。p-群のうち、Gとの指数がpで割り切れないものを、p-シロー群という。このとき、次が成立する：

[1]　Gの任意のp群に対して、それを含むp-シロー群が存在する。

[2]　Gのp-シロー群どうしは、互い共役である。

[3]　Gの異なるp-シロー群の個数は、1+kpである。ただし、kは、Gの共役類の個数。

（ご質問のG）

以下、Gをご質問のGに特定します。

まず、Gの位数を求めましょう。aとして選べるのは、φ(p^n) = p^(n-1)×(p-1)通りです（φは、オイラーのファイ関数）。それぞれのaに対して、bの選び方は、p^nです。また、dは、aによって一意的に定まります。したがって、Gの位数|G|は、|G|= p^(n-1)×(p-1)×p^n により、

|G| = p^(2n-1)×(p-1)

です。したがって、「位数p^(2n-1)の部分群」というのは、p-シロー群です。あとは、これが正規部分群であることを示せば、[2]により、ただ１個であることが分かります。

（正規部分群であること）

ご質問のGのp-シロー群を１つ選んで、それをSとします。Sと共役な部分群の個数をmとします。一般に、共役部分群の個数は、その指数以下ですから、m ≦ |G:S|で、また、|G:S|= p-1 なので、

[4]　m ≦ p-1

です。さらに、[3]より、

[5]　 m = 1 mod p

です。[4]と[5]を満たすmは、m=1しかありません。よって、Sは、正規部分群です。したがって、[2]より、「位数p^(2n-1)の部分群」が１個しかないことが分かります。

お礼

丁寧な解答本当にありがとうございます。
シローの定理をもう一度勉強しようと思います。
これからもよろしくお願いします。

ありがとうございました！