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体について（代数学）
代数学の問題で教えてほしいのですが、 Ｑ（有理数）、Ｒ（実数）、Ｃ（複素数）は体となることを証明せよ。 なんですが、全部を示さずとも、Ｃ（複素数）さえ示せれば、あとはＣ⊂Ｒ⊂ＱよりＲ、Ｑについても言えると思うのですが、Ｃが体であるためにはどう示せばいいのかわかりません。体についての定義は分かっていますが、どんな式を加法、乗法、逆元の計算をすればいいのでしょうか？できれば解法を教えてください、お願いしますm(__)m
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*****■問題■*********************************************************************************** Ｑ（有理数）、Ｒ（実数）、Ｃ（複素数）は体となることを証明せよ。 ************************************************************************************************ ★定義の確認★ 数の計算の３大法則 結合法則：（ｘ・ｙ）・ｚ＝ｘ・（ｙ・ｚ）；（ｘ＋ｙ）＋ｚ＝ｘ＋（ｙ＋ｚ） 交換法則：ｘ・ｙ＝ｙ・ｘ；ｘ＋ｙ＝ｙ＋ｘ 分配法則：ｘ・（ｙ＋ｚ）＝ｘ・ｙ＋ｘ・ｚ；（ｘ＋ｙ）・ｚ＝ｘ・ｚ＋ｙ・ｚ 実数というものは加法と乗法の２つの演算を満たします。分配法則は ２つの演算の橋渡しとなる法則です。こんどは、２つの演算をもつ集合を考えてみましょう。 演算・と＋についてそれぞれモノイドと加群をなす 分配法則を満たすこのような集合を環といいます。代表的な環はｍ次正方行列全体の集合などがあります。 また、乗法が交換法則を満たす環を可換環といいます。 そして、可換環でかつ乗法についても逆元をもつ場合、そのような集合を体といいます。代表的な体は有理 数全体の集合、実数全体の集合、ｎ次正則行列全体の集合などがあります。 http://infoshako.sk.tsukuba.ac.jp/~hamada80/math/math06.html ------------------------------------------------------------------------------------------------ Ｑ（有理数）、Ｒ（実数）、Ｃ（複素数）は体の見本みたいなものなのですが、これを証明せよというのです から、 ☆解法の指針☆ ■任意の有理数ｘ、ｙ∈Ｑは適当な整数a,ｂ,ｃ,ｄによって,a/b,c/dと表せる。 として,演算の閉性など定義にあてはまることを示せばよいと思います。 ■任意の実数ｘ、ｙ∈Rはそのまま、演算の閉性など定義にあてはまることを示せばよいと思います。 ■任意の複素数ｘ、ｙ∈Ｑは適当な実数a,ｂ,ｃ,ｄによって,a+ib,c+idと表せる。 として,演算の閉性など定義にあてはまることを示せばよいと思います。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 難しく考えすぎでは？
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- Mell-Lily
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集合A,B,Cについて、 A⊂B⊂C ならば、 Aが体を成す ⇒ Bが体を成す ⇒ Cが体を成す ということは、一般的には成り立ちません。二項演算+と・が、Aに関して閉じているからと言って、BやCに関しても閉じているとは言えないからです。実際、RはQの、CはRの拡大体ですが、この問題の意図は、Q,R,Cのそれぞれが体を成すことを証明することにあるでしょう。勿論、ここで扱う二項演算は、通常の、有理数、実数、複素数についての加法と乗法です。
お礼
ありがとうございました。参考になりました。
- jmh
- ベストアンサー率23% (71/304)
この問題は、文脈（特にＱ,Ｒ,Ｃの構成方法）に依存していると思います。 そこで、それぞれの集合の構成方法が知りたいです。 Ｑは整数全体Ｚの商体？ Ｒの構成方法は切断ですか？それとも…？ こういう意味でなかった場合は、ごめんなさい。
お礼
アドバイスどうもありがとうございました。
- kaitou-man
- ベストアンサー率60% (86/141)
まず、Ｃ⊂Ｒ⊂Ｑじゃなくて、Ｑ⊂Ｒ⊂Ｃですね？ それから、この関係があるからといって、Ｃが体であることさえ示せばいいというのは誤りです。整数は有理数の部分集合ですが、体ではありません。 証明するには体の定義を一つ一つ試していけばいいでしょう。 ・有理数どうしを加算したものは有理数であるか ・有理数の乗法に関する逆元がまた有理数であるか などですね。
お礼
ありがとうございました。
- nubou
- ベストアンサー率22% (116/506)
加法は複素数の加法 乗法は複素数の乗法 逆元は複素数の逆数 零元は０ 本当に分からないの？
お礼
すいませんm(__)mありがとうございました。
お礼
ご丁寧にどうもありがとうございましたm(__)m