代数です

質問

代数です

Z(整数全体)における加法と乗法の結合律、交換律および分配律を証明せよ。

という問題なのですがこんな当たり前の事どうやって証明するのでしょうか？[汗]

わかる方いましたらよろしくお願いします

回答No.4

muturajcp · ベストアンサー

N=(全自然数の集合)
N^2={(a,b)|a∈N,b∈N}
(a,b)∈N^2 に対して
<a,b>={(x,y)∈N^2|(a,b)∈N^2,a+y=b+x}
として、
Z={<a,b>|(a,b)∈N^2}
と整数の集合を定義する。
+:Z×Z→Z,<a,b>+<c,d>=<a+c,b+d>
と加法を定義する。
*:Z×Z→Z,<a,b>*<c,d>=<ac+bd,ad+bc>
と乗法を定義する。

(<a,b>+<c,d>)+<e,f>=<a+c,b+d>+<e,f>=<a+c+e,b+d+f>=<a,b>+<c+e,d+f>=<a,b>+(<c,d>+<e,f>)

(<a,b>*<c,d>)*<e,f>
=<ac+bd,ad+bc>*<e,f>
=<(ac+bd)e+(ad+bc)f,(ac+bd)f+(ad+bc)e>
=<ace+bde+adf+bcf,acf+bdf+ade+bce>
=<a(ce+df)+b(de+cf),a(cf+de)+b(df+ce)>
=<a,b>*<ce+df,cf+de>
=<a,b>*(<c,d>*<e,f>)

<a,b>+<c,d>=<a+c,b+d>=<c+a,d+b>=<c,d>+<a,b>

<a,b>*<c,d>=<ac+bd,ad+bc>=<ca+db,da+cb>=<c,d>*<a,b>

<a,b>*(<c,d>+<e,f>)=<a,b>*<c+e,d+f>
=<a(c+e)+b(d+f),a(d+f)+b(c+e)>
=<ac+ae+bd+bf,ad+af+bc+be>
=<ac+bd,ad+bc>+<ae+bf,af+be>
=<a,b>*<c,d>+<a,b>*<e,f>

回答No.3

koko_u_u

ちがう、ちがう。
結合律や分配律の定義を補足してほしいんじゃないんだよ。

「足し算」てどうやって定義しているの？
その定義から結合律を導いて下さい。

回答No.2

Ginzang

これは、補足説明の必要な質問だと思う。

確かに、通常であればこれらは自明であることすら意識されないほど当然のことである。
しかし、基礎論の立場、つまり空集合から集合論の概念を用い、一から数の体系を構築していこうとする立場なら、これらはとても自明とは言えまい。

ええと、私が言いたいのは、要は「この設問の前提として、どのように整数、および加法・乗法が定義されているのか知りたい」ということである。
講義の宿題なら、以前の講義のノートなりレジュメなりに、何か定義がなかっただろうか。それを知りたい。
（あいにく、私にはそれを想像できない）

補足

すいませーん
x,y,z∈Z
加法、乗法による結合律

(x＋y)＋z=x＋(y＋z)

(xy)z=x(yz)

同様に交換律

x＋y=y＋x

xy=yx

同様に分配律

x(y＋z)=xy＋xz

(y＋z)x=yx＋zx

ご迷惑おかけしました
<(_ _)>

回答No.1

koko_u_u

まずは加法と乗法を定義して下さい。

補足

すいませーん
x,y,z∈Z
加法、乗法による結合律

(x＋y)＋z=x＋(y＋z)

(xy)z=x(yz)

同様に交換律

x＋y=y＋x

xy=yx

同様に分配律

x(y＋z)=xy＋xz

(y＋z)x=yx＋zx

ご迷惑おかけしました
<(_ _)>