変数分離？

質問

ある放射性物質のt=0における放射能の強さをN。、時刻tにおける強さをNで表す。放射能の強さを減少する速さdN/dtは、そのときの強さNに比例する。

(1)Nをtの関数で表せ。

(2)5年後に最初の強さN。の1/10になったとすると、強さが1/2N。となるのは何年後か。ただしlog10の２=0.301

という問題なんですけど、解けなくて困ってます。
(1)は、dN/dt=-ktとして変数分離形にしてみたらN=ae^-ktになったんですけど、あってるのかどうか...。

どなたか教えて下さい！！お願いします！

回答No.1

sanori · ベストアンサー

ははー。
放射能の基礎ですね。

とりあえず（１）を回答しましょう。

＞dN/dt=-ktとして変数分離形にしてみたらN=ae^-kt
で合っています。

だけど、ふつうは、
-dN=λNdt
N=N0・e^-λt　（せっかくのN0というシンボルを使わないと！）
と書きます。

λは「平均寿命」と言います。
λは、半減期(T1/2)の何倍だかだったです。
数字は覚えていません。

（２）は計算ですね。
これから考えてみますので、ちょっと待っててくださいね。

お礼

あ、私のであってましたか！？良かったです。。そういえばλ使うとかなんとなく聞いたことあります！ありがとうございました！

回答No.4

mirage70

此の問題は、微分方程式を使用しなくてもとけます。
半減期をX年とおくと、５年後に1/10となることから、
(1/2)^(5/X)=1/10
両辺の対数を取れば、
(5/X)log(1/2)=-1
-(5/X)log2=-1
X=5log2=1.505(年)

お礼

あ、そういう風にも解けるんですね！参考になりました！ありがとうございます！！

回答No.3

sanori

みたび登場です。
自分が書いた回答を、今一度ながめたら、きわめて重大な誤記に気づきました。

平均寿命はλではなく、λの逆数です。

λは、単位時間当りに、放射崩壊する確率ですね。

失礼いたしました。m(_ _)m

お礼

丁寧な回答本当にありがとうございました！！バッチリ理解しました（≧▽≦）！
また何かの機会があればよろしくお願いします！！

回答No.2

sanori

さっきのつづきで、（２）を書きましょう。
今度は私の苦手な「計算」なので、自信ないっす（笑）

時間や平均寿命の単位は、本来「秒」ですが、
こういった類の問題では、「年」を単位にして構いません。

５年後に１０分の１なので
1/10 = e^(-5λ)
となりますから、これからλが求まります。
λ = log10 / 5

Ｔ年後に２分の１なので
1/2 = e^(-λＴ)

これに前述のλの値を代入して
1/2 = e^(-log10 / 5 ・ T)

これを計算して、左辺がＴになるようにします。
T = 5 × log2 / log10
= 5 × log10の2 / log10の10
= 5×0.301/1
= 1.5[年] ぐらい　＝こたえ

１．５年を３回で、８分の１ぐらいになるのですから、
５年で１０分の１になるのは、感覚的に分かりますよね？

というわけで、
問題（２）は、まさに、半減期を求める問いでしたね！

お礼

あ～～分かりましたぁ！！とっても助かります！！単位のところ、ひょっとして秒とか時間とかに直すのかな…？とか迷ってたんですよ（＾_＾；）
どうもありがとうございました！！