変数分離法

質問

dx/dt = ax.

dx/dt = ax/t.

dx/dt = x - x^2

上記の微分方程式を変数分離法というもので解くとどうなるのですか？

そしてこの変数分離法という解法をつかうと何がわかったり便利なのでしょうか。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞dx/dt = ax.
ｄｘ／ｘ＝ａｄｔ
両辺を積分すると、
log｜ｘ｜＝ａｔ＋Ｃ
　　　　　＝log｛ｅ^（at+C)｝
　　　　　＝log（ｅ^(at)ｅ^C）より、
ｘ＝±ｅ^Cｅ^(at)
±ｅ^C＝Ｃとおくと、
ｘ＝Ｃｅ^(at)

＞dx/dt = ax/t.
ｄｘ／ｘ＝（ａ／ｔ）ｄｔ
両辺を積分すると、
log｜ｘ｜＝ａlog（ｔ）＋Ｃ
　　　　　　＝log（ｔ^a）＋logｅ^C
　　　　　　＝log（ｔ^a・ｅ^C）より、
ｘ＝±ｅ^C・ｔ^a
±ｅ^C＝Ｃとおくと
ｘ＝Ｃｔ^a

＞dx/dt = x - x^2
ｄｘ／( x - x^2)＝ｄｔ
左辺＝ｄｘ／x（1-x)＝＝dx/x＋dx/(1-x)
積分すると、
log｜ｘ｜－log｜１－ｘ｜
＝log｜ｘ／（１－ｘ）｜
両辺を積分して、
log｜ｘ／（１－ｘ）｜＝ｔ＋Ｃ
　　　　　　　　　　＝logｅ^(t+C)
　　　　　　　　　　＝logｅ^t・ｅ^Cより、
ｘ／（１－ｘ）＝±ｅ^C・ｅ^t
±ｅ^C＝Ｃとおくと
ｘ／（１－ｘ）＝Ｃｅ^t
ｘについて解くと、ｘ＝Ｃｅ^t／（Ｃｅ^t＋１）
＞上記の微分方程式を変数分離法というもので解くとどうなるのですか？
多分上のようになると思います。

＞そしてこの変数分離法という解法をつかうと何がわかったり便利なのでしょうか。
自分で実際解いてみれば、分かるかもしれません。

お礼

細かい解説誠にありがとうございます。
ちゃんと一つ一つ教えて下さった解法をもとに内容理解に努めたいと思います。

お忙しい中ご親切に誠にありがとうございます。

回答No.1

yyssaa

dx/dt = axの変数を分離(同じ変数を集める)と
(1/x)dx=(a)dtとなって、両辺をそれぞれ積分できます。

dx/dt = ax/tも同様にxとtを分離すると
(1/x)dx=a(1/t)dtとなって、両辺をそれぞれ積分できます。

dx/dt = x - x^2も同様です。
{1/x(1-x)}dx=1dt
(1/x)dx+{1/(1-x)}dx=1dtとして積分します。

お礼

解法の手段の解説誠にありがとうございます。
変数ごとというのは同じ数字ごとに右辺と左辺を分けて計算することなのですね。
ありがとうございました。