高校数学IIの問題です。解き方を教えてください。

質問

log(10)3＝0.4771とするとき、次の問いに答えよ。
(1/3)の100乗は少数第何位に初めて０でない数字が現れるか。

答えは　「少数第48位」　になります　

よろしくお願いします_(._.)_

回答No.2

無 鉄砲（@without-a-gun） · ベストアンサー

(1/3)の100乗は、3の-100乗です。これを3＾（-100）と表記します。
3＾（-100）について、初めて0でない数字が少数第n位で現れるとすると
１×10＾(-n) < 3＾（-100） < 1x10^(1-n)が成り立ちます。ここでnは、1以上の自然数です。

急にこう書かれると、納得できないかもしれませんね。
例えば、0.00314159という数を考えます。
これは、3.14159x10^(-3)とも書けます。
そして、初めて0でない数字が少数第3位に現れています。
次に、以下の不等式が成り立つのも理解できると思います。
0.001 < 0.00314159 < 0.01
つまり
１×10＾(-3) < 0.00314159 < 1x10^(-2)

さて、１×10＾(-n) < 3＾（-100） < 1x10^(1-n)が成り立つとすれば、
それぞれの対数（底10）をとっても不等式は成り立ちます。
-n < -100xlog(10)3 < 1-n
n > 100xlog(10)3 >n-1
ここでlog(10)3＝0.4771なので
n > 47.71 >n-1
よってn = 48と求まります。
したがって、(1/3)の100乗を少数で表すとき、初めて0でない数字は少数第48位で現れます。

お礼

回答ありがとうございました(*´∀｀*)　
おかげで理解できました！

回答No.3

yyssaa

x=(1/3)^100とおいて、両辺の常用対数をとると
log(10)x=log(10)(1/3)^100=100log(10)(1/3)
=100{log(10)1-log(10)3}=-100log(10)3=-47.71
指数に戻して
x=10^(-47.71)=1/10^47.71={1/(10^47)}(1/10^0.71)
ここで、10^0＜10^0.71＜10^1
すなわち　1＜10^0.71＜10
逆数として　0.1＜1/10^0.71＜1
各辺に1/(10^47)を掛けて　1/(10^48)＜x＜1/(10^47)
x=(1/3)^100なので、1/(10^48)＜(1/3)^100＜1/(10^47)
1/(10^48)は少数第48位が1、1/(10^47)は少数第47位が1。
従って(1/3)^100は少数第48位が1の数より大きく、少数
第47位が1の数より小さいので、初めて０でない数字が
現れるのは少数第48位になります。

お礼

回答ありがとうございました(*´∀｀*)
細かな説明をしてくださり、とても参考になりました！

回答No.1

asuncion

＞少数第何位

小数ですね。

答えについては、x=(1/3)^100 とおいたとき、log(10)x=-100log(10)3 となることが
使えるような気がします。

お礼

回答ありがとうございました(*´∀｀*)
とても参考になりました！