高校数学II について

質問

高校数学IIの、複素数について質問です。

問 次の複素数と共役な複素数をいえ。

(1) √3

という問題の答えが、

なぜ、√3になるのか不思議です。教えて下さい。

(2) -5ｉ

という問題の答えが、なぜ、5ｉになるのか不思議です。
教えて下さい。

回答No.2

alice_44

たわごと：
回答は A No.1 が適切でしょう。
おそらく、質問の趣旨とは異なりますが、
私も、複素数の共役については、以前から
不思議だと思っていました。

「共役」という言葉の定義には、スッキリしない部分があります。
共役は、体の拡大一般に定義される概念ですが、もともと
複素数の実数上拡大について定義されていたものを一般化した
経緯があるために、複素数/実数 が 2 次拡大であること固有の
事情を引きずっており、キレイに一般化できていないからです。

代数の教科書を読むと、体の拡大 L/K において、L の元 x と y が
(K上)共役であるとは、x と y の K上最小多項式が一致していること
と定義してあります。また、L の元で x と(K上)共役なものを
全て集めた集合を「x の(K-)共役」と呼んだりします。

一方、複素数の共役は、a+bi (a,bは実数) に対して、a-bi のこと
を言います。a+bi と a-bi が互いに共役であることは、ok ですが、
上記の定義では、a+bi の(実数上)共役は、集合 { a+bi, a-bi }
のはずで、呼び方が一致していません。

複素数の場合の呼び方に忠実な一般化として、L の K-自己同型 φ
によって、φ(x) を「x の共役」と呼ぶスタイルもあります。
「K-自己同型」とは、L から L への体同型写像で、K上では恒等
になるもののことです。L/K が 2 次拡大の場合は、K-同型写像は
L 全体で恒等写像であるものと、他にもう一個しかありませんから、
恒等でないほうを φ とする「共役」は、一意に定まります。

しかし、L/K が 2 次でない場合は、K-同型写像が複数ありますから、
単に「共役」と言っても、φ を明示しないと特定できません。
例えば、有理数の 4 次拡大 Q(√2+√3) には、Q-同型写像が
恒等写像を除いて 3 つあり、a+b√2+c√3+d√6 の「共役」は、
a-b√2+c√3-d√6 かも、a+b√2-c√3-d√6 かも、a-b√2-c√3+d√6
かも知れない。一般の代数では、そこを考慮して、
a+b√2+c√3+d√6 の共役は { a+b√2+c√3+d√6, a-b√2+c√3-d√6,
a+b√2-c√3-d√6, a-b√2-c√3+d√6 } だと言って済ます訳です。

複素数の共役のほうは、既に普及定着していて、それに合わせて
変更する訳にもいきませんから、用語に微妙なズレが生じる。
「複素数の実-共役」または「共役複素数」と呼ばずに
「複素共役」と呼んでしまう言葉遣いの違いも、その辺の差異と
同源であるような気がします。

…たわごとですね。
気にしないでください。

回答No.1

soixante

a+bi と共益な複素数は　a-bi ということはいいですか。
実数部分a と　虚数部分 bi です。

１）　√3

√3　は　√3　+ 0i と考えれば、共益な複素数は、√3 - 0i
つまり、√3

2) -5i

0-5i と考えれば、0+5i が共益な複素数

つまり　5i

こんな感じで考えてはどうでしょう。