高校数学A 証明問題 わからなくて困っています！

質問

高校数学Aの応用、証明問題です。

参考書＆教科書ともに似たような問題がなかった為、質問します。

※現在高３です。

わからないので、私の代わりに解いて頂けると嬉しいです。

お願い致します。

☆

＜倍数であることの証明＞

Pは奇数とする。そのとき

「Pが３で割り切れないとき、P^4－１　が４８で割り切れる」ことを証明せよ。

※P＾4は、Pの４乗です。

☆

この問題は、黒板で回答する割り当てになっているので、数学得意な方、私を助けてください！

ご協力お願いいたします。

回答No.2

wild_kit · ベストアンサー

Ｐが３で割り切れないということは、Ｐ　＝　３ｍ＋１またはＰ　＝　３ｍ＋２＜ｍは整数＞の２つのケースが考えられます。

１）Ｐ　＝　３ｍ＋１の場合
Ｐが奇数ということは、３ｍは偶数ということです。
つまりｍ　＝　２ｎ＜ｎは整数＞ということであり、Ｐ　＝　６ｎ＋１と表されます。
　（Ｐ＾４）－１　＝　｛（６ｎ＋１）＾４｝－１　＝　［｛（６ｎ＋１）＾２｝＾２］－１
＝　［｛（６ｎ＋１）＾２｝＋１］［｛（６ｎ＋１）＾２｝－１］　＝　［｛３６（ｎ＾２）＋１２ｎ＋１｝＋１］｛（６ｎ＋１）＋１｝｛（６ｎ＋１）－１｝
＝　｛３６（ｎ＾２）＋１２ｎ＋２｝（６ｎ＋２）（６ｎ）　＝　［２｛１８（ｎ＾２）＋６ｎ＋１｝］｛２（３ｎ＋１）｝（６ｎ）
＝　２４｛１８（ｎ＾２）＋６ｎ＋１｝（３ｎ＋１）ｎ
　ここでｎが奇数であるならば、３ｎは奇数であり、従って（３ｎ＋１）は偶数になります。
ということは、２４（３ｎ＋１）は４８で割り切れるので、（Ｐ＾４）－１は４８で割り切れるといえます。
　またｎが偶数であるなら、２４ｎが４８で割り切れますから、（Ｐ＾４）－１は４８で割り切れるといえます。

２）Ｐ　＝　３ｍ＋２の場合
Ｐが奇数ということは、３ｍも奇数ということであり、ｍは奇数です。
従ってＰ　＝　３ｍ＋２　＝　３（２ｎ＋１）＋２　＝　６ｎ＋５＜ｎは整数＞と表せます。
　（Ｐ＾４）－１　＝　｛（６ｎ＋５）＾４｝－１　＝　［｛（６ｎ＋５）＾２｝＾２］－１
＝　［｛（６ｎ＋５）＾２｝＋１］［｛（６ｎ＋５）＾２｝－１］　＝　｛３６（ｎ＾２）＋６０ｎ＋２５＋１｝｛（６ｎ＋５）＋１｝｛（６ｎ＋５）－１｝
＝　｛３６（ｎ＾２）＋６０ｎ＋２６｝（６ｎ＋６）（６ｎ＋４）　＝［２｛１８（ｎ＾２）＋３０ｎ＋１３｝］｛６（ｎ＋１）｝｛２（３ｎ＋２）｝
＝　２４｛１８（ｎ＾２）＋３０ｎ＋１３｝］（ｎ＋１）（３ｎ＋２）
　ここでｎが奇数であるなら、ｎ＋１は偶数であり、２４ｎは４８で割り切れます。
ｎが偶数なら、３ｎも偶数であり、３ｎ＋２も偶数です。
従って２４（３ｎ＋２）は４８で割り切れます。

　これらのことからＰが３の倍数でない奇数の時、（Ｐ＾４）－１は４８で割り切れるといえます。

お礼

めっちゃわかりやすかったです！

無事にまとめることもできました☆

夜遅くにもかかわらず

本当にありがとうございました。

助かりました！！

回答No.1

B-juggler

はい、がんばれ！

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)　ヽ（・∀・）ノ　ワチョーイ　

代数学の元非常勤講師です。

あ～、分からないです。って素直に先生に言って、怒られるなり、

恥をかいた方が、しっかり覚えるんだろうけれどね～。

　＃そこまでサディストじゃない＾＾；

ヒントだけね。（やっぱりちょっとＳらしい）

奇数だと分かっている。３で割り切れないとも分かっている。

３で割ったときに、必ず余りが出るから、割り切れないんだね。

２通りあって、

３ｋ－１　か、３ｋ－２　ｋ＝１，２，３，４，５・・・・・ね。

Ｐはこの両方を満たしている。

　＃ここで閃いて欲しい！

Ｐをうまく組み合わせて表せないだろうか？

　＃閃くタイミング待ち＾＾；

もう一個ヒント。　３ｋ－１　は　ｋ＝１　のとき、２になって偶数だ。

３ｋ－１　は　ｋ＝３　のとき　９－１＝８　になって　偶数だ。

３ｋ－１　は　ｋ＝５　のとき　１５－１＝１４で偶数だ。

ってことは？　３ｋ－１　の場合、　ｋは必ず偶数でないと奇数にならない。

　＃つまり　３ｋ－１　の時　ｋは　・・・・　│・ω・`)＜コッショリ　２ｎ？

もうひとつのパターンあったね。あれのときはどうなるの？

今度はほんとにここまで。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

遅くにもかかわらず回答頂きありがとうございました☆