この問題の解き方を教えてください！！

質問

ｐを整数とする。このとき、
(ｐ－１)の３乗＋ｐの３乗＋(p＋１)の３乗は９の倍数であることを証明せよ。という問題です。
余りで場合わけする方法以外に早く解ける解法を教えてください。

回答No.4

KTR5718F · ベストアンサー

(P-1)^3+P^3+(P+1)^3
=3P^3+6P
=3P(P^2+2)
=3P(P^2+2+3P-3P)
=3P[(P+1)(P+2)-3P]
=3P(P+1)(P+2)-9P^2

ここで，3P(P+1)(P+2)は9の倍数であり，9P^2も9の倍数．
よって上式も9の倍数である．

回答No.6

arrysthmia

帰納法は、いかが？

f(p) = (p-1)^3 + p^3 + (p+1)^3 と書く。

f(0) = 0。これは 9 の倍数。

f(p+1) - f(p) = (p+2)^3 - (p-1)^3 = 9(p^2 + p + 1)
よって、f(p) が 9 の倍数なら、f(p+1) も 9 の倍数。

f(p-1) - f(p) = (-9){(p-1)^2 + (p-1) + 1}
よって、f(p) が 9 の倍数なら、f(p-1) も 9 の倍数。

回答No.5

ghiaccio

p-1,p,p+1のうちのいずれかひとつは明らかに3の倍数。
なので、nを整数としたとき、
(p-1)^3+p^3+(p+1)^3
は
(3n-1)^3+(3n)^3+(3n+1)^3
としてかまわない。
これを展開して計算すれば終了です。

回答No.3

piro19820122

これだけしか書かないと「丸投げ」に見えてしまいます。
解き方の見当すらつかないのであれば、そう書くべき。

というか、判らなければとりあえず展開するとか、式を整理してみるとかしてみること。この問題は展開して整理すれば３の倍数であることは明らか。

その上でヒント。
p = 3m, 3m+1, 3m+2 に場合分けしてみる。

3p は明らかに3の倍数だし、p=3m なら明らかに9の倍数。
p^2 + 2 について、p=3m+1, 3m+2 を代入して整理してみる。すると3の倍数であることが明らかになる。

回答No.2

mister_moonlight

展開すると、3p＾3＋6p＝3*（p-1）*p*（p+1）＋9pとなる。
連続する3数の積は3の倍数、従って、明らか。

回答No.1

owata-www

a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
で、-3p*(p-1)(p+1)は９の倍数は明らかなので
(ｐ－１)の３乗＋ｐの３乗＋(p＋１)の３乗が９の倍数
⇔右辺が9の倍数
を示せばよく

(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)のa、b、cにそれぞれp、(p-1)、(p+1)
を入れれば９が出てくる。

まあ、もう少しうまいやり方があるかもしれないが