- 締切済み
三角関数の積分計算
つまりましたのでご助言いただけると幸いです。 ∫[0→2pi]dθ 1/(1-acosθ) =∫[0→pi]dθ 1/(1-acosθ) +∫[0→pi]dθ 1/(1+acosθ) =2∫[0→pi]dθ 1/(1-a^2cos^2θ) =2∫[0→∞]dt 1/(a^2-t^2-1)
- samidare01
- お礼率46% (131/283)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数0
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
関連するQ&A
- 三角関数を時間微分すると・・・
まず、(a,bは定数)x=acosθ+bcosψを時間(t)で微分します。 するとdx/dt=-a(dθ/dt)sinθ-b(dψ/dt)sinψ-(1)と なるのはなんとなく分かるのですが。 (1)式をさらに時間(t)で微分すると、 (d^2x/dt^2)=-a(d^2θ/dt^2)cosθ-b(d^2ψ/dt^2)sinψ-b(dψ/dt)^2cosψ-(2)になるのがまったく分かりません。 どうして(1)式をさらに時間微分するとψの項が２つ出現するのか がまず？です。 何度も先生に聞いたりしましたが、よく分かりませんでした。 どなたか、解き方を教えて下さい。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数の積分計算ですが…
∫sin^2(x)dx の積分計算をしたいのですが、半角（２倍角）の公式を使わずに、という制限つきでした。 t=tan(x) とおいて、sin^2(x)=t^2/(1+t^2) dx=dt/(1+t^2) という形にして解こうと思ったのですが、∫(t^2/(1+t^2)^2)dt となってっしまい解けませんでした。他にも sin^2(x)を(√1-cos^2(x))*sin(x) として、cos(x)で置換積分を試みましたが、 √(1-t^2)がでてくるため無理でした。どうすればうまくいきますか？ ちなみに必要かどうかはわかりませんが、積分区間は 0→2π でした。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分の計算
∫１／√（ｘ＾２＋１）ｄｘをもとめよ。 ｘ＝tanθとおくと、ｄｘ＝ｄθ／cos^２θ 与式＝∫（ｄθ／cosθ）＝∫cosθ／（１－sin^2θ）ｄθ sinθ＝ｔとおくと、cosθｄθ＝ｄｔより、 与式＝∫ｄｔ／（１－ｔ＾２） ＝１／２（（１／１－ｔ）＋（１／１＋ｔ））ｄｔ ＝１／２（－logI１－ｔI＋logI１＋ｔI）＋Ｃ（絶対値） ＝１／２log｛(1+t)／（１－ｔ）｝＋Ｃ ＝１／２log｛（１＋sinθ）／（１－sinθ）｝＋Ｃ ＝１／２log｛(1+sinθ）＾２／cos^2θ｝＋Ｃ ＝log（1+sinθ／cosθ）＋Ｃ とやって、tanθ＝ｘを使って復元できなくなりました。 助けてください
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分（三角関数）の絶対値の外し方について
∫［0,(n+1/2)π］t|cos(t)|dt=∫［0,1/2π］t|cos(t)|dt+Σ［k=1,ｎ］∫［(k-1/2)π、(k+1/2)π］t|cos(t)|dt というような式変換がありました。（ｋ，nはともに自然数） どのような式変換でこのような形になったのかがわかりません。 何をしたのでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素関数の積分
ζ(t)を実数変数tの複素関数とする。 ∫[a→b] ζ(t)dtは複素数となるので、 ∫[a→b] ζ(t)dt = | ∫[a→b] ζ(t)dt |*e^(iθ)と変形することができる。 この式の両辺にe^(-iθ)を掛けて、ζ(t)=|ζ(t)|*e^(iφ)とおくと、 右辺=| ∫[a→b] ζ(t)dt |, 左辺=e^(-iθ) ∫[a→b] ζ(t)dt=∫[a→b] e^{i(φ-θ)} |ζ(t)| dtとなる。 右辺| ∫[a→b] ζ(t)dt |については、複素数∫[a→b] ζ(t)dt の絶対値をとっているので実数になる。 この左辺のe^{i(φ-θ)} についてオイラーの公式より、e^{i(φ-θ)} =cos(φ-θ)+isin(φ-θ)となるが、右辺| ∫[a→b] ζ(t)dt |が実数となるので、isin(φ-θ)の項は消える。 したがって、| ∫[a→b] ζ(t)dt |=∫[a→b] cos(φ-θ) |ζ(t)| dtとなり、cos(φ-θ)≦1であることから、 | ∫[a→b] ζ(t)dt |=∫[a→b] cos(φ-θ) |ζ(t)| dt≦∫[a→b] |ζ(t)| dt、| ∫[a→b] ζ(t)dt |≦∫[a→b] |ζ(t)| dtが導ける。 ※質問です。『この左辺のe^{i(φ-θ)} についてオイラーの公式より、e^{i(φ-θ)} =cos(φ-θ)+isin(φ-θ)となるが、右辺が実数となるので、isin(φ-θ)の項は消える。』というところで、isin(φ-θ)が消えるということは、sin(φ-θ)=0になると思うのですが、この考え方は正しいのでしょうか？ そうなると(φ-θ)は..,-π,0,π,2π..に限定され、cos(φ-θ)の値も同様にcos(2nπ)=1、あるいはcos(2n-1)π= -1 [n=整数]の2つに絞られるはずです。そして、| ∫[a→b] ζ(t)dt |=∫[a→b] cos(φ-θ) |ζ(t)| dtの式は、 | ∫[a→b] ζ(t)dt |=∫[a→b] |ζ(t)| dt [(φ-θ)=2nπ] | ∫[a→b] ζ(t)dt |= (-1)* ∫[a→b] |ζ(t)| dt [(φ-θ)=(2n-1)π] の2組以外には考えられないはずですので、なぜcos(φ-θ)≦1であることを持ち出し、 | ∫[a→b] ζ(t)dt |=∫[a→b] cos(φ-θ) |ζ(t)| dt≦∫[a→b] |ζ(t)| dtと変形しているのかが分かりません。 詳しい方教えてください。 お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数の定積分の問題教えて下さい。
答えがない問題なので教えて下さい。 F（a）=インテグラ［0→π/２］｜sin x - acos x | dx を最小にするaの値を求めよ。 もう10年以上前のことなのでやり方を忘れました。 自分で考えた解き方は絶対値の中を ≧０と ＜０で場合分けして sin x - acos x ≧0の時 F(a)=インテグラ［０→π/2］（sin x-acos x）dx =[-cos x - asin x] 0→π/2 = -cos (π/2) - asin (π/2) - (-cos 0 - asin 0 ) こんな感じで解いていけばいいのでしょうか？ わかる方教えて下さい。よろしくお願いします。 なおパソコンでの書き方がよくわからず、すみません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数の微分について
よろしくお願いします。 問題【asin^4t, y=b*(1-cost)のとき、dy/dx, d^2y/dx^2 を求めよ。】 まず、a と b を、t で微分しました。 そこから、dy/dx = -(b*cos^2t)/(a*sin^2t) を導きました。 これが合っているかを、教えてください。 次に、d^2y/dx^2 を、(d/dt)*(dy/dx)*(dt/dx)と考えて解こうとしました。 ところが、{(a*sin^4t + b*cos^4t)/(a^2*sin^4t)}*1/4a*sin^3*cost という、奇妙な結果になってしまいました。 これは間違いだと思います。 ですので、解答と解説をお願いしたいと思います。 以上、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 初歩の三角関数積分について
高校数学をやり直している者です。 y=sin^2(x)の積分は、倍角の公式を用いて、 sin^2(x)=(1-cos(2x))/2として進めるのが定番となっていますが、 y=t^2, t=sin(x)とした置換積分の手法では、正答と結果が違います。 y=t^2, t=sin(x) Y=∫t^2 dx, dx=(1/cos(x))dt Y=(1/cos(x))∫t^2 dt Y=(1/cos(x))*(t^3/3) Y=(1/cos(x))*(sin^3(x)/3) この置換積分のどこがいけないのでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 三角関数の積分
1/三角関数 の積分は必ずできると聞いたのですが、本当でしょうか。 例えば 1/sinx です。 ∫1/sinxdx を試してみたのですが、うまくできませんでした。 ∫sinx/sin^2xdx とし、 ∫sinx/(1-cos^2x)dx cosx=tとおく。 dx = -1/sinx 与式 = -∫1/(1-t^2)dt = -(1/2)∫{(1/1+t)+(1/1-t)}dt = log|sinx| + C となりました。 しかし、これを微分しても与式になりません。 どこか間違っているのでしょうか。 答えでは、log|tan1/2| となっていたと思います。 あと、 ∫1/cosxdx と ∫1/tanxdx も答えだけでも良いので教えていただきたいです。
- 締切済み
- 数学・算数
補足
ありがとうございます！ a>0を想定しています。 ＞0<a<1の場合を想定して見えるようですが…。 ＞そうであれば ＞>∫[0→2pi]dθ 1/(1-acosθ) ＞>=∫[0→pi]dθ 1/(1-acosθ) +∫[0→pi]dθ 1/(1+acosθ) ＞=2∫[0→pi]dθ 1/(1+acosθ) ＞となりますので ＞わざわざ ＞>=2∫[0→pi]dθ 1/(1-a^2cos^2θ) ＞>=2∫[0→∞]dt 1/(a^2-t^2-1) ＞と複雑化する意味はないでしょう？ おっしゃる通りでしたm（-_-）m ＞a>1の場合 ＞ cosθ=1/aで被積分関数＝±∞ ＞ 積分不可 うーんそうなんですが、これが主値積分の場合は収束しそうですよね？？