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数学の集合論（同値類）
「商集合Fは、一つの元を持つ同値類から成る ⇔商集合Fは単射」 を証明する問題が分かりません。 どなたかお力添えをお願いします。
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#6です。書いてないんですか・・・。どういう状況で、 ＞「写像Fの商集合が、それぞれ一つの元を持つ同値類からなる ⇔ 写像Fは単射である」 が出て来たんでしょうか？。 それはともかく、#4の補足のように定義すれば、筋は通りますよね？。「F:S(∈∀x,y)→T」の意味はわかりませんでしたが・・・。injection（単射），同値関係，同値類，商集合の定義は、当然ご存知のように見えます。 もうわかったも同然と思えるのですが、そうでないなら、たんに慣れてないだけだと思います。その時は、言って下さい。
#4です。訳し間違えてはいないと思います。 #3（と#4）で私が言いたかった事は、#3（と#4）で述べたような背景のもとに、この定理は出て来たのでないか？、という事です。なので、 ＞「写像Fの商集合」がどのように定義されているのか, です になります。上記がはっきりすれば、解決すると思うからです。どこかに（定理の前とかに）、書いていませんか？。
- Tacosan
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私が (あるいは #3 が) 気にしているのはそこではありません. 「写像Fの商集合」がどのように定義されているのか, です.
#3です。すいません、間違えました。 ｉ： y∈Ｆ(Ｘ)→y∈Ｙ は明らかに単射（標準単射） でした・・・。
補足
回答ありがとうございます。 元の問題は The quotient set of F consists of classes each of which has one element if and only if F is injective. です。訳し間違えていないでしょうか？
予想ですけど、写像の標準分解の話だと思いました。 「写像Fの商集合」とは、Ｆ：Ｘ→Ｙとしたとき、Ｘの像Ｆ(Ｘ)⊂Ｙに属する、各y∈Ｆ(Ｘ)の逆像Ｆ^(-1)(y)⊂Ｘの全体の事でしょう。ここでＦ^(-1)(y)は、Ｆの逆写像Ｆ^(-1)の、y∈Ｆ(Ｘ)に関する値を表すのでは「なく」、y∈Ｆ(Ｘ)に写像してくるx∈Ｘを集めた、Ｘの部分集合Ｆ^(-1)(y)⊂Ｘの事です。 ※ Ｆ^(-1)(y)は本来、Ｆ^(-1)({y})と書くべきものですが、面倒なのでＦ^(-1)(y)と、よく略記されます。 x，z∈Ｆ^(-1)(y)としたとき定義から、Ｆ(x)＝y＝Ｆ(z)が成り立ちますよね？。そして関係Ｒ、 Ｒ： Ｆ(x)＝Ｆ(z)（x，z∈Ｘ） が、Ｘ上の同値関係になる事は、すぐわかります。 逆にＲによる同値類Ｆ^(-1)(y)が一点集合なら、yの逆像の意味から、Ｆが単射なのは明らかですよね？。たぶん証明は、「頭の体操」程度です・・・(^^)。 ※ Ｒによる同値類でＸを分割し、Ｘ上の商集合Ｚを考え、写像Ｆを、 Ｆ＝ ｉ○φ○ｊ ： Ｘ→Ｚ→Ｆ(Ｘ)→Ｙ （○は合成写像の意味） と分解する事を、写像の標準分解と言います（ちょっと古いかも知れませんが）。xの属する同値類をc(x)とすれば、 ｊ： x→c(x) は明らかに全射（標準全射） ｉ： c(x)→y は明らかに単射（標準単射） になり、 φ： c(x)→y∈Ｆ(Ｘ) は、明らかに全単射（双射）です。φを包含写像（標準双射）と言う時もあります。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
・「写像Fの商集合」とはなんでしょうか? ・「写像Fは単射である」ことの定義は?
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
なんというか, 独特な表現だなぁ.... ・「商集合」とは何か ・「商集合が一つの元を持つ同値類から成る」とはどういう意味か ・商集合はどんな条件を満たすときに「単射」なのか を書いてください.
補足
すみません。英文を訳し間違えていました。 「写像Fの商集合が、それぞれ一つの元を持つ同値類からなる ⇔写像Fは単射である」
補足
とくに書いてなかったため、自分で次のように定義しました。 F:S(∈∀x,y)→T F: inj F(x)=F(y)→x=y 同値関係 x～y⇔F(x)=F(y) 同値類 [x](∈S/～)={y|x～y}