• 締切済み

同値関係についてです。

次の命題を考えております 「集合の濃度が等しいという関係は同値関係である」 どなたかこの証明をよろしくお願いします。 (~すればいい、~参照、ではなく詳しい証明のみ受け付けさせていただきます)

みんなの回答

  • kabaokaba
  • ベストアンサー率51% (724/1416)
回答No.4

そうですなー・・・ 同値「関係」といってしまうのがよくないかなー alice_44さん,tmpnameさんに同意. カテゴリの言葉をひっぱりださないとだめなのかな classとかuniverseとかそこらへんの辺りの議論かなー 「~すればいい、~参照、ではなく詳しい証明のみ受け付けさせていただきます」 なんていうくらいだからね そうなると掲示板なんかで書くのはしんどい. ということで,なんでこんな反応を引き出しちゃってるのか わかるかい? ============= で,まあー 「超ナイーブ」で「なぁなぁ」に「証明」するんなら自明なんだよね. まさに「すればよい」レベル. だってねー, 反射・推移・対称をそれぞれ示せばいい. それって,「二つの集合の濃度が等しい」ことの定義と 「全単射の性質」そのものでしょう. これがレポートの問題とかだったら, 深いことはさておき素朴集合的な範囲の話で きっとサービス問題でしょう 本当に「ナイーブ」ではない「詳しい証明」が知りたいなら 河田「圏論」(岩波) マクレーン「圏論の基礎」(Springer) あたりを「参照」かな 直接同じ命題はでてないと思うけど 「集合のあつまり」(あえて「集合の集合」とはいわない,だって集合じゃないから)を 扱うようなことへのヒントがあるように思う.

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。
  • tmpname
  • ベストアンサー率67% (195/287)
回答No.3

残念ながらNo.1さんが正しい。naiveな集合論の世界だとその辺がはっきりしないけど。 第一、 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%96%A2%E4%BF%82 にもきちんと 『ある集合 S において』二項関係~が次の性質を満たすとき、~は S の同値関係であるという。 集合の濃度の対等 "関係"、類における "関係" となる(何か辺な""がついている事に注意) と書いてある。 http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~hiraki/hotel/exp1.htm は、「集合の集まり(集合族)」というものを使っているが、それがまずいことはNo.1さんの書いた通り。http://quotes.is.titech.ac.jp/math/text/01/index.html も「集合全体の集まりを, 対等という同値関係で同値類にわける」と書いてあって、それがまずいことはNo.1さんの書いた通り。 この辺は「まあnaiveな集合論ならまあいいや」みたいな感じで書いてある事が多いけど、もう一回言いますがあくまでNo1さんが正しい。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.2

自分が何を質問しているのか、 各用語の定義を確認して、 もういちど考えてみるとよい。

noname#155636
質問者

補足

http://ja.wikipedia.org/wiki/同値関係    の例 http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~hiraki/hotel/exp1.htm  の下部 http://quotes.is.titech.ac.jp/math/text/01/index.html などなど、同じ記述はその他にもたくさんあります

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.1

ダウト。 「同値関係」は、集合上の二項関係について定義されるが、 「濃度が等しい」は、全ての集合が成す集合族上で定義され、 全ての集合が成す集合族は「集合」ではない。

noname#155636
質問者

補足

・・・・・それが命題が誤りであることには繋がりませんよ。 もう一度考えてみてくださいね。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A

  • 同値関係であることの証明

    次の問題があります。 任意の集合Aがあり、PはAの分割(Partition)である A上(に対する)関係Sの定義は S={(x,y):Pの要素となるBが存在し、x,yはBの要素である} Sが同値関係であることを証明しなさい 分割、同値関係の意味は理解しています。 しかし、証明となるとわかりません 具体例を考えると簡単なのですが、一般的な証明ができません。 どなたか分かる人いますか。

  • 同値関係の問題で困っています。

    同値関係の問題で困っています。 ・整数Zにおいて、次の関係Rは同値関係であることを証明せよ。  aRb ⇔ ∃k∈Z,3a+b=4k ・Rの2乗における次の関係Rは同値関係であることを証明せよ。  (a,b)R(c,d) ⇔ a=c,∃k∈Z,b-d=2kπ の2問がわかりません。 面倒くさいかもしれませんが1つでもいいのでお願いします。

  • 同値関係の問題です。

    Xを整数全体の集合とし、Xの任意の元2つについて、それらの間の関係~を差が7で割り切れる(商が負数の場合も含めて)と定める。 このとき、集合Xと同値関係~について、次の問いに答えよ。 (1) C(0)はどのような数の集合であるか。 (2) C(3)はどのような数の集合であるか。 ヒントだけでもいいのでお願いします。

  • 同値

    原始ピタゴラス数が無数にある という命題と 原点中心の単位円上には有理点が無数にあるという 命題は 同値らしいのですが、その証明方法が分かりません。 各々の証明は完了しており、原始ピタゴラス数から単位円上の有理点の無数性については証明できますが、その逆が出来ません。どうか教えていただきたいです。

  • 同値関係の示し方

    『集合Aにおける関係Rが反射律を満たしているとするとする。 「aRb,bRc⇒cRa」(a,b,c∈A)が成り立つとき、関係RはAにおける同値関係となることを示せ。』 という問題なのですが同値関係を示すと言うことは残りの対称律と推移律を満たせばいいのですよね? そこまでは解かるのですが、その示し方がよく解かりません。 アドバイス願います。

  • 命題の同値

    条件における同値はわかるのですが、ある参考書を読んでいる時に「元の命題とその対偶は同値である」とかかれており命題の同値ってなんなのだろうかと思いました この時の、命題の同値とはどのような意味なのでしょうか?教えていただけると助かります

  • 数学の同値関係の問題です

    集合Zでm~nとは、m-nは3で割り切れるとするとき、~が同値関係であることを示せ、という問題に困っています……。 反射律まではわかるのですが、対象律、推移律の証明の仕方がわかりません。どなたか教えていただけないでしょうか。最近集合を勉強し始めたのですが、ネットの情報などを見てもどうしてもわからないので質問しました。どうぞよろしくお願いいたします……

  • 同値関係の証明について

    「0より大きい整数集合A={1,2,....}についてA×A上の関係RをR={<(a,b),(c,d)>|ad=bc}とするとRが同値関係であることを証明しなさい」 という問題でRが反射的、対称的、推移的と証明していけばいいと思うのですが、A×Aだったら<>の中は<1,2>などになるはずだと思うのに<(a,b),(c,d)>となっていて問題の意味がよくわかりません。 この場合どう証明すればいいのでしょうか?

  • 同値関係の証明

    証明問題で困っております・・・ Zの2元a,bの間に a~b⇔「aとbを7で割ったとき,それぞれの余りが等しい」 という関係をいれる.また,k=0,1,2,…,6に対し, 集合{x|x~k}をc(k)を表すことにする. 1.関係~は,同値関係であることを示せ. 2.c(0),c(1),…,c(6)はZの類別であることを示せ. 本当にどんな方針で示せばよいのか困ってます・・・ 特に,1はどのようにもっていくのでしょう? よろしくお願いします!

  • 同値類XとClの関係がわかりません

    例えば、      m∈N について、同値関係を「2をModとする関係」と定義すると、      0を代表元とする同値類Cl(0)は、      Cl(0)={0、2、4、、、}      1を代表元とする同値類Cl(1)は、      Cl(1)={1、3、5、、、}      ですが、単に「同値類Xは?」と言われると、これがわからんのです。      この場合の同値類Xは、      X=Cl(0) または X=Cl(1)      で合ってますか?      {Cl(0)、Cl(1)} だと、これは商集合ですよね      (それとも、これは誤解?)