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0と i との大きさを比較できないことの証明

0と i との大きさを比較できないことを証明せよ、という問題を聞きました。 どうやら i>0 i<0 i=0 を否定する方針らしいです。 どのようにしたらよいでしょうか。 教えてください。

質問者が選んだベストアンサー

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  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.3

複素数体が順序体になるように全順序を定義することはできない …ということを証明したいのであれば、その方針でよいと思います。 順序体の諸公理を使って、i>0 からでも、i<0 からでも、 ここまでの回答のように「-1>0 となって矛盾」が導けます。 しかし、具体的な 0 と i の比較という話だと、ちょっと微妙 なところがあります。そもそも定義し得ない複素数の順序を使って 0 と i の大小がどうなるかを論じることに意味があるのかどうか… その辺の話のスジが不明瞭になるからです。 背理法を使うときは、何が背理法の仮定なのかを見え易くするように 配慮するべきだと思います。

1618sunny
質問者

お礼

そうですよね。何か違和感を感じていたのが晴れました。 問題じたいがナンセンスなのでしょうかね。 ありがとうございました。

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その他の回答 (2)

回答No.2

|i|=1なのでi=0はありえない。 i=0とすると、左辺=0≠1=右辺となって矛盾 i > 0とする. i・i > 0・i となるが、この左辺は-1で右辺は0となって矛盾。 i < 0のとき i・i > 0・i となるが、この左辺は-1で右辺は0となって矛盾。 だと思います。

1618sunny
質問者

お礼

実際的な回答ありがとうございました。

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  • notnot
  • ベストアンサー率47% (4860/10277)
回答No.1

i=0が違うのは明らか。不等号の場合は、 ・両辺に同じ正の数を掛けても不等号の向きは変わらない ・両辺に同じ負の数を掛けると不等号の無機が逆転する と、 i^2=-1  (i^2はiの2乗のこと) -1<0 を使います。

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