平面による空間の分割の問題です（質問し直します）

質問

大学への数学「マスター・オブ場合の数」の中の研究問題です。

空間をどの２つの交わりも直線で、どの３つの交わりは1点で、どの４つをとっても共有点が
無いようなｎ個の平面を分割するときの、領域の数の問題ですが、

まず、平面をｎ本の直線で、どの２本も１点で交わるが、どの３本も１点では交わらないように
分割するときの、領域の個数は（ｎ^2＋ｎ＋２）/２－(1)です。

また、空間において、ｋ－１枚の平面で作られた領域がｆ（ｋ－１）個に分割されていたとして、
これにｋ枚目の平面を題意のようにおいた時、ｋ枚目の平面上の、他の平面との交線で分け
られた１つ１つの領域は、それまですでにあった空間領域の１つを２つに分ける‘面’であるの
で、ｋ枚目の平面によって、空間領域は、（（ｋ－１）^2＋（ｋ－１）＋２）/２個増える。

よって、１＋∑［ｎ、Ｋ＝１］（（ｋ－１）^2＋（ｋ－１）＋２）/２＝（ｎ^3＋５ｎ＋６）とあります。

ようするに、ｋ枚目の平面を入れると、ｆ（ｋ－１）個の領域が増えるとなっていますが、

分からないのは、ｆ（ｋ－１）＝（（ｋ－１）^2＋（ｋ－１）＋２）/２－(2)ということなので、
平面の領域の個数（ｎ^2＋ｎ＋２）/２にｎ＝ｋ－１を代入すると、(2)になりますが、
例えば、添付画像の３（＝ｋ－１と考えて）本の領域には７個の領域がありますが、
４（＝ｋと考えて）本目の直線を引くと、７個の領域が増えると言った内容の説明があります。

空間の領域の個数を求める問題であるのに、なぜ、平面での増えた領域の数が空間の領域
の数が対応するのかが理解出来ません。

Tacosan様、先ほどは失礼いたしました、改めて質問させて頂きます。

何卒宜しくお願い致します。

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回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

すみません, いずれにしても #2 の後段のように次元を 1つ落として「平面上の直線群」でまずは考えてみてはどうでしょうか. 方針自体は「平面上の直線群」でも「空間中の平面群」でも同じですし.

「『平面上の直線群』なら理解できるけど『空間中の平面群』だと分からない」ということだと.... 「頭の中でイメージしてみる」, くらいかなぁ.

お礼

１週間位考えましたが、解決できました。
四面体に平面を、４枚入れると、題意のように分割されることが理解できました。
作った四面体を「質問のし直し」の前に画像添付しますので。何かの参考にと・・・
（ただし、結構見にくいので、お許しをm(__)m)

補足

有難うございます。なんとか考えてみます。
また、大変失礼ながら、１週間位この質問クローズせずに、見守ってみます。

回答No.2

Tacosan

それで理解できているということは, この問題の答そのものはわかっている (ここに挙がっている解答は理解できないとしても) ということでいいですか?

もしそうでない, なぜ (n^3+5n+6)/6 になるのかすらわからないというのであれば, 「n本の直線で平面を分割する」問題もいきなり「n本の場合」を考えるのでなく, 「n-1本の直線で平面が分割されているときに, n本目を追加したらどれだけ領域が増えるのか」を考えてみるといいかもしれません. 追加した「n本目の直線」は, それまでの n-1本の直線によっていくつの部分に分割されるでしょうか? 一方, 「n本目を追加したときに増える領域の数」はいくらでしょうか?

補足

何度も有難うございます。
回答としては、上記です。自分が分からないのは、平面の領域の数がなぜ、空間の領域の数に適用できるかです。
なお、システムエラーで画像が消えました。

回答No.1

Tacosan

(1) 式がどのように導かれるか, わかりますか?

補足

有難うございます。

１＋（直線の交点の数）＋（直線の本数）＝１＋nＣ2＋ｎです。