領域の個数と漸化式

質問

領域の個数と漸化式

平面上に、どの３本の直線も１点を共有しない、ｎ本の直線がある。
（１）どの２本の直線も平行でないとき、平面がｎ本の直線によって分けられる領域の個数anをnで表せ。

解
ｎ本の直線で平面がan個の領域に分けられているとき、ｎ＋１本目の直線を引くと、その直線は他のｎ本の直線でｎ＋１個の線分または半直線に分けられ、領域はｎ＋１個増加する。ゆえに・・・・・（以下省略）

教えてほしいところ
なぜ、領域はｎ＋１個増加するといえるんですか？？
論理的に教えて下さい

回答No.2

Rice-Etude · ベストアンサー

No.1です。

条件bですが、
b)２本の直線も平行でない
は、正しくは
b)「どの」２本の直線も平行でない「（すなわち、任意の直線は、自分以外の直線と必ず交点を持つ）」
ですね。訂正します。

それから、お褒めの言葉をいただき恐縮です。私も分からないことだらけで、今も勉強中です。luutさんから見ればおじさん（下手すればお父さんくらいの年齢？（汗））ですが、それでもよければ、ぜひ...

補足

大人になっても勉強しているなんてすごいですね。僕の親とは大違いです。
友達に年齢なんて関係ありません！！（臭いセリフですね・・）
ということで、これからよろしく御願いします。

回答No.1

Rice-Etude

厳密な論理ではないですが...

問題文から平面上にある任意のｎ本の直線について
a)どの３本の直線も１点を共有しない （すなわち、すべての交点は2本の直線からのみ）
b)２本の直線も平行でない
という条件になっています。

この条件を満たしながら、n本の直線が引かれているところに新たに直線を引いたとします。すると、新しく引いた直線上に、それまでに引かれているn本の直線とで新たなn個の交点ができます。この交点を、新たな直線上で並んでいる順にP(1),P(2),…,P(n)と置きます。

P(1)とP(2)の間には、直線が引かれるまで1つの領域がありましたが、この2点を結ぶことでその領域は二つに分割されます。つまり直線P(1)-P(2)により領域が1つ増えます。
P(2)とP(3)の間にも、直線が引かれるまで1つの領域がありましたが、この2点を結ぶことでその領域は二つに分割されます。つまり直線P(2)-P(3)により領域がさらに1つ増えます。
…
P(n-1)とP(n)の間にも、直線が引かれるまで1つの領域がありましたが、この2点を結ぶことでその領域は二つに分割されます。つまり直線P(n-1)-P(n)により領域がさらに1つ増えます。

このように、2点を結ぶことで1つずつ領域が増えていきます。結ぶことができる2点は
P(1)-P(2),P(2)-P(3),…,P(n-1)-P(n)
とn-1通りあるので、まずP(1)からP(n)までの間で領域がn-1増えます。

またP(1)の外側を、新しい直線のうちP(1)から見てP(2)がない方と便宜上定義します。P(1)の外側もやはり一つの領域がありましたが、その外側に伸びる直線によりその領域は分割されます。つまり、P(1)の外側に伸びる直線により領域が一つ増えます。

同様に、P(n)の外側を、新しい直線のうちP(n)から見てP(n-1)がない方と便宜上定義します。P(n)の外側もやはり一つの領域がありましたが、その外側に伸びる直線によりその領域は分割されます。つまり、P(n)の外側に伸びる直線により領域が一つ増えます。

つまり、新しい直線により、
α）新たな交点P(1),…,P(n)のうち、隣り合っている2点間P(k)-P(k-1)（但しkは2以上n以下）によりできた領域 n-1個
β）P(1)の外側にできた領域1個
γ）P(n)の外側にできた領域1個
の合計であるn+1個の領域の増加となります。

補足

すいません。貴方すごすぎです。
尊敬します。できれば、友達になってもらえませんか？？？