- ベストアンサー
領域
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
些細ですが、ちょっと間違いがありますね。 2次元のときのS(n)を求める予備考察のところで、n+1本目の直線が採ることの出来る線分の最大数はn-2ではなくてn-1ですね。 漸化式も間違っていますが、S(n) の答えはあっているようです。 失礼しました。
その他の回答 (2)
- tancoro
- ベストアンサー率52% (11/21)
有限領域(体積のある領域)の数に関しては、hogehogeninja さんが回答していらっしゃるので、『領域』を無限領域(体積が∞の領域)まで含めた場合について考えて見ました。 (1) 直線の分割 まず、1本の直線を n個の点で分割した場合を考えます。 この場合は、新たに加える点によって、そこの領域が2つに分断されていきます。 最大領域数 R(n) は、 R(n) = n + 1 (2) 平面の分割 次に、平面を n本の直線で分割した場合を考えます。 この場合は、n本目の直線は n-1本の直線と交わり、且つ、n-1個の交点が存在します。 (1)よりこの直線は R(n-1) の領域に分断され、さらに、そのR(n-1)個 の線により平面領域が各々2つに分断される。 結果的に R(n-1) 領域が増加すると言えます。 平面の最大領域 S(n)は、 S(n) = R(n-1) + S(n-1) = n + S(n-1) = Σk + S(0) = n(n+1)/2 + 1 (3) 空間の分割 最後に、空間を n枚の平面で分割した場合を考えます。 この場合は、n枚目の平面は n-1枚の平面と交わる。その時、この平面上には n-1本の直線ができる。 (2)よりこの平面は S(n-1) の領域に分断され、さらに、そのS(n-1)個の面により空間領域が各々2つに分断される。 つまり、S(n-1)領域が増加するといえます。 空間の最大領域 T(n)は、 T(n) = S(n-1) + T(n-1) = (n-1)((n-1)+1)/2 + 1 + T(n-1) = n(n-1)/2 + 1 + T(n-1) = (1/2)Σk^2 - (1/2)Σk + n + T(0) = n(n+1)(2n+1)/12 - n(n+1)/4 + n + 1 ※ 式中のΣは(k=1 ~ n)を表すものとします。
- hogehogeninja
- ベストアンサー率35% (18/51)
平面をn個の直線で分割するとき、出来る領域の最大値をS(n)とします。 いま、n本の直線でS(n)個の領域があるときします。 このとき、端点以外では他の直線と交わらないような線分は、必ず1つ領域を増やします(ただしn>=2のとき) n+1本目の直線を引くとき、このような線分は、n+1本目の直線上に最大でn-2本とることができます。 よって、S(n+1) = S(n) + (n-2) と漸化式が求まり、 S(n) = (1/2)(n-2)(n-1) となるわけですね。 ポイントは、端点以外では直線と交わらない線分1つが、新たな領域を1つ区切り、一つ領域を増やす役割をすることです。 これを3次元のときに考えると、この線分の役割をするのは、辺以外の内部で他の面とは交わらない、2次元多角形領域です。 ですので、n枚の平面でD(n)個の3次元領域があるとき、n+1枚目の平面を加えたときに追加される3次元領域の数は、n+1枚目の平面上で、他の平面と交わることによって出来る2次元領域の数に等しいはずです。 ですので、n+1枚目の平面を加えたときに追加される3次元領域の 最 大 の数は、n+1枚目の平面上で、他の平面と交わることによって出来る2次元領域の 最 大 の数に等しいです。 ここから D(n+1) = D(n) + S(n) と漸化式が立ち、 D(n) = (1/4)(n-3){(1/3)(n-2)(2n-5)+n-4} となりそうです。
関連するQ&A
- 平面による空間の分割の問題です
空間をどの2つの交わりも直線で、どの3つの交わりは1点で、どの4つをとっても共有点が無いようなn個の平面を分割するときの、領域の数の問題ですが、 空間において、k番目の平面を作ったとき、k-1個の平面で分割された空間の個数が増えるというのは、理解できるのですが、 なぜ、平面の領域の個数の(n^2+n+2)/2を利用して、((k-1)^2-(k-1)+2)/2個増えると出来るのでしょうか。(なお、n=k-1を代入しているのは分かります) 何卒お願い致します。
- 締切済み
- 数学・算数
- 平面による空間の分割の問題です(質問し直します)
大学への数学「マスター・オブ場合の数」の中の研究問題です。 空間をどの2つの交わりも直線で、どの3つの交わりは1点で、どの4つをとっても共有点が 無いようなn個の平面を分割するときの、領域の数の問題ですが、 まず、平面をn本の直線で、どの2本も1点で交わるが、どの3本も1点では交わらないように 分割するときの、領域の個数は(n^2+n+2)/2-(1)です。 また、空間において、k-1枚の平面で作られた領域がf(k-1)個に分割されていたとして、 これにk枚目の平面を題意のようにおいた時、k枚目の平面上の、他の平面との交線で分け られた1つ1つの領域は、それまですでにあった空間領域の1つを2つに分ける‘面’であるの で、k枚目の平面によって、空間領域は、((k-1)^2+(k-1)+2)/2個増える。 よって、1+∑[n、K=1]((k-1)^2+(k-1)+2)/2=(n^3+5n+6)とあります。 ようするに、k枚目の平面を入れると、f(k-1)個の領域が増えるとなっていますが、 分からないのは、f(k-1)=((k-1)^2+(k-1)+2)/2-(2)ということなので、 平面の領域の個数(n^2+n+2)/2にn=k-1を代入すると、(2)になりますが、 例えば、添付画像の3(=k-1と考えて)本の領域には7個の領域がありますが、 4(=kと考えて)本目の直線を引くと、7個の領域が増えると言った内容の説明があります。 空間の領域の個数を求める問題であるのに、なぜ、平面での増えた領域の数が空間の領域 の数が対応するのかが理解出来ません。 Tacosan様、先ほどは失礼いたしました、改めて質問させて頂きます。 何卒宜しくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 領域を不等式を用いて表しなさい
[H21筑波技大・推] (1)~(3)までは自信があるのですが、(4)が分かりません。 (1)~(3)も念のために見て頂いて、(4)の解答をお願いします。 xy座標平面上の原点Oを中心とする半径1の円、その円に接するy=√3x-2で表される直線、y=ax^2+1(a>0)で表される放物線について、次の問いに答えなさい。 (1) 円の方程式を書きなさい。 【答案】x^2+y^2=1 (2) 直線と放物線が一つの共有点を持つときのaの値を求めなさい。 【答案】ax^2+1=√3x-2 ax^2-√3x+3=0 このxについての方程式の判別式をDとすると、 D=(-√3)^2-4×3×a =-12a+3 D=0としてaを求める。 a=1/4 (3) aが(2)で求めた値のとき、円の外部でy軸と直線と放物線で囲まれた領域の面積を求めなさい。ただし、円周率をπとする。 【答案】∫[0→2√3]{(1/4×x^2+1)-(√3x-2)}dx-π/2 =2√3-π/2 (4) (3)で定義した領域(境界を含む)を不等式を用いて表しなさい。 【答案?】求める領域をDとすると、 D={(x,y)|√3x-2≦y≦1/4×x^2+1,-√(4y-1)≦x≦{√3×(y+2)}/3}⊃{(x,y)|x^2+y^2=1,0≦x≦1,-1≦y≦1}
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2つの曲線に囲まれた領域の重心の求め方
直線 y=x-2と放物線y=x^2で囲まれた領域Dがある。 (1) Dの面積を求めよ。 (2) Dの重心を求めよ。 という問題です。 問(1)は非常に簡単で積分すればよくて、答えは9/2ですが、 問(2)はどうやって解けばいいですか。 分かる方がいらっしゃいましたら、ご教授お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 平面分割 漸化式?
2問のうちどちらかひとつでもいいので分かる方がいたら教えて下さい。 できれば簡潔な回答ではなく考え方もお願いします。 ・平面上にn個の円があって、どの2つの円も異なる2点で交わり、またどの3つの円も同一の点で交わっていない。このとき、これらの円によって平面はいくつの部分に分けられているか。 考え方として分割される平面の数をLnとすると n=0 L0=1 n=1 L1=2 Ln=n^2-n+2 ・平面上のn本の線が分割する領域は、無限のものと有限のものが混じっている。有限の領域の数が最大Lnになるようにすると、有限領域はいくつまで増やせるか。 考え方としてn番目の線が、それ以前の線とk>0個の異なる点で交わる場合、有限の領域はk-1個増え(但し前からある線はどれも互いに平行でないとする。)、無限の領域は2個増える。 有限の領域の最大数は Sn-2(項)=(n-1)(n-2)/2=Ln-2n 有限の領域の個数をbn 無限の領域の個数をCn 全体の個数をanとしたとき an=bn+Cn Cn=Cn‐1(項)+2 bn=?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 直線と曲線で囲まれた領域の重心について
放物線と異なる2点で交わる直線で囲まれた領域の重心の座標って何処ですか? 放物線の方程式はなんでもいいのですが… 一応y=a(x-b)^2 +c 、y=mx+nとしておきます
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございました!