以下の漸化式について

質問

以下の漸化式について

x_n+3=3x_n+2-2x_n+1-x_n, n=0,1,...,6

この式の解集合Sの次元が3である．Sの１次元ベクトル空間への直和分解を１つ示せ．

この問題がどうしても解けなくて困っています．
そもそも漸化式の解集合の次元が3であるというところからよくわかりません．
また直和分解の方法というところも文献等読んでも詳しく記載されていないのです．
誰か分かる方いらっしゃったらぜひとも教えて下さい．よろしくお願いします．

回答No.4

stomachman

漸化式だと思うから混乱するんじゃないかな。 単なる10元連立一次方程式ですぜ？

回答No.3

koko_u_u

>自分は大学院修士1年生でして

であれば、特に補足する点はありません。

回答No.2

koko_u_u

念のためですが、大学課程以上の話ですよね？

お礼

お返事遅くなりまして申し訳ありません．
はい，自分は大学院修士1年生でして，現在授業で習っている内容となっています．
すみませんがよろしくお願い致します．

回答No.1

koko_u_u

>そもそも漸化式の解集合の次元が3であるというところからよくわかりません．

数列 α={a_n}、β={b_n}がいずれも問題の漸化式を満たせば、その線形結合
uα+vβ={u a_n + v b_n}も漸化式を満たします。

つまり、漸化式の解全体

V = { {a_n} | {a_n} は問題の漸化式を満たす }

はベクトル空間を成すわけです。

そのベクトル空間の次元が 3 という意味

お礼

早速書き込みいただきありがとうございます．
ベクトル空間の次元が3ということはわかるのですが，
それがどのように3次元となるのかというところがうまく飲み込めません．
a_nの数列(n=0～9)が3次元ベクトルとなっているということでしょうか？

どのように1次元ベクトルの直和に分解することができるのでしょうか？
質問だらけになって申し訳ありませんが，ご回答よろしくお願いします．