漸化式

質問

漸化式の問題で
X(n+1)=1/2*X(n)+1　
”（）”の中は小さい添え字です。
の一般項を求めよという問題で、答えが合いませんでした。
一般項はどうなるか教えてください。
方法は、自力でやってみようと思いますので、答えだけお願いします。

X(n+1)=2*X(n)+1　も少し違っていましたのでよろしくお願いします。

回答No.4

guuman · ベストアンサー

絡むわけでは有りませんが諸侯が分からないと難しいと言うのはおかしいと思います
一般下位を聞いているのですから任意定数を用いて回答すればいいのです

このような定係数線形漸化式は一般的解法が確立しています
まず斉次式の一般下位を求めて次に非斉次式の特殊解を求めてその２式の和を出せばいいのです

X(n+1)=1/2*X(n)+1の斉次式は
X(n+1)=1/2*X(n)です
特性方程式はx(n)＝s^nとすればでて
ｓ=1/2
です
これにより斉次の一般解は
x(n)=ａ*(1/2)^n
です
x(n)=2
は非征爾の特殊解だから
結局非盛時の一般解は
x(n)=ａ*(1/2)^n+2
とシステマチックにもとまるのです
これによりどんなに複雑で高次の定係数線形漸化式も
多項式の根を求める問題に帰結できるのです

回答No.3

hika_chan_

これって、初項がわからないとちょっと難しいような気がしますが、
式の途中をちょこっと書いちゃうと、
{X(n)-2}を{b(n)}とすると、
b(n)=a(1/2)^(n-1)・・・aはb(n)の初項つまり、b(1)=X(1)-2=a
X(n)=b(n)+2
X(n)=a(1/2)^(n-1)+2
X(n)={X(1)-2}(1/2)^(n-1)+2

同じように、X(n+1)=2*X(n)+1も
X(n)={X(1)+1}2^(n-1)-1
となるのではと思います。(合っているかは自信なし・・・・)

回答No.2

toranekosan

こういうタイプのやつは面白いので違う問題を解いてみてください。即答できるわけが分かるかもしれません。

x(n+1)=ax(n)+bを一般項を導け（aは1or0でない、整数。bは任意の整数）
a=1の時の一般項を考察せよ
b=0の時の一般項を考察せよ

x(n+1)=ax(n)+b+f(n)の一般項を導け（上と同じ条件。fは任意の関数）
この解は、
x(n)=a^(n-1){x(1)-(b+f(n))/(1-a)}+b+f(1)
このとき、
同様に
a=1の時の一般項を考察せよ
b=0の時の一般項を考察せよ

やってみよう！

回答No.1

toranekosan

x(n)=(1/2)^(n-1)*(x(1)-2)+2

もうひとつのは
x(n)=2^(n-1)*(x(1)+1)+1

ちがってたらごめんなさい、暗算です