• ベストアンサー

三角形の交線はどうやって計算するのでしょうか?

多面体の重なりについて計算したいのですが,検索すると三角形に分割した後に三角形の重なりを計算すれば良い……と言う記事を複数発見しました. しかし,どのようにすれば三角形の交わりを求められるのかが見つかりません. (手元の参考書には,3点を通る平面と直線の交わりなどは書いてあるのですが……) ・三角形同士の交線の計算 ・三角形と四角形の交線の計算 の以上2点に関する資料を,何方か御教示願えませんでしょうか. 以上です 宜しくお願いします

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • chie65535
  • ベストアンサー率43% (8481/19299)
回答No.1

>(手元の参考書には,3点を通る平面と直線の交わりなどは書いてあるのですが……) >・三角形同士の交線の計算 「三角形ABCと三角形abcが交わる」 とは 「三角形ABCと直線abが交わる または 三角形ABCと直線acが交わる または 三角形ABCと直線bcが交わる」 と言う事。 考え方を変えれば 「三点ABCを通る平面と直線abが交わる または 三点ABCを通る平面と直線acが交わる または 三点ABCを通る平面と直線bcが交わる」 かつ 「三点abcを通る平面と直線ABが交わる または 三点abcを通る平面と直線ACが交わる または 三点abcを通る平面と直線BCが交わる」 と言う事。 なので、手元の参考書の「3点を通る平面と直線の交わり」が判定できれば良い。 >・三角形と四角形の交線の計算 「三角形ABCと四角形abcdが交わる」 とは 「三角形ABCと、三角形abcまたは三角形acdが交わる」 と言う事。 なので「三角形同士の重なり」の計算を2回行うだけ。 簡単に言うと「どんな多角形も、分割すれば三角形の集まり」なので「三角形同士の交線の計算」を行うだけになる。 そして「多面体同士の重なり」は「互いの表面を三角形に分解した時、三角形同士が重なっているかどうか」で判定出来ます。 なお、三角形に分解した時、すべての三角形について、3つの頂点座標を調べ 「X座標の最大が、もう一方の多面体のX座標の最小よりも小さい」 かつ 「Y座標の最大が、もう一方の多面体のY座標の最小よりも小さい」 かつ 「Z座標の最大が、もう一方の多面体のZ座標の最小よりも小さい」 と言う場合は重ならないのが明らかなので、その三角形を除外できます。 除外は、以下のようにします。 2つの多面体について、その多面体がスッポリぴったり入る直方体を作って、その2つの直方体が重なった領域を求めます。 その領域は8つの頂点を持つ直方体で、その頂点座標は「どっちかの多面体の頂点座標の、X、Y、Z座標の最小値か最大値」で出来ています。 なので、この直方体を求めるには「多面体の各頂点の座標のX、Y、Z座標を大小比較するだけ」で求まります。 この時「2つの直方体が重なった領域がない」のなら、多面体は重なっていません。 次に「2つの直方体が重なった領域の中にない三角形」は、重なりようが無いので、すべて除外します。 どちらの多面体でも、最低1個は三角形が残りますから、あとは前述の方法で「三角形同士の重なり」を計算すれば良いです。

関連するQ&A

  • 線形代数I 空間における平面の交線

    S1: x+2y+z=0 と S2: 2x+5y-z=0について (1)S1とS2の交線Lの方程式を求めよ (2)直線Lと平面S3: X+3y+z=3の交点Pの座標を求めよ (3)直線Lを含み点(2,2,4)を含む平面S4の方程式を求めよ。 いっぱい調べたのですが根本がわかってないのでさっぱりです 助けてください!

  • 平面による空間の分割の問題です

    空間をどの2つの交わりも直線で、どの3つの交わりは1点で、どの4つをとっても共有点が無いようなn個の平面を分割するときの、領域の数の問題ですが、 空間において、k番目の平面を作ったとき、k-1個の平面で分割された空間の個数が増えるというのは、理解できるのですが、 なぜ、平面の領域の個数の(n^2+n+2)/2を利用して、((k-1)^2-(k-1)+2)/2個増えると出来るのでしょうか。(なお、n=k-1を代入しているのは分かります) 何卒お願い致します。

  • 線形代数の問題

    (1)2直線:2x-6y+5=0,4x-2y+1=0について、2直線の交点・2直線のなす角を求めよ。 (2)2平面:x-2y+z+3=0,2x+3y-2z-1=0について、2平面の交線及び交線と点(1,1,1)を含む平面を求めよ。 という2問について解法を教えて頂きたいのですが。 (1)の問題は交点は連立させて求めたのですが、なす角の求め方がわかりません。 (2)の問題は交線の求め方が解らないのですがどのような解法があるのでしょうか? 解る方教えて下さい。

  • 平面による空間の分割の問題です(質問し直します)

    大学への数学「マスター・オブ場合の数」の中の研究問題です。 空間をどの2つの交わりも直線で、どの3つの交わりは1点で、どの4つをとっても共有点が 無いようなn個の平面を分割するときの、領域の数の問題ですが、 まず、平面をn本の直線で、どの2本も1点で交わるが、どの3本も1点では交わらないように 分割するときの、領域の個数は(n^2+n+2)/2-(1)です。 また、空間において、k-1枚の平面で作られた領域がf(k-1)個に分割されていたとして、 これにk枚目の平面を題意のようにおいた時、k枚目の平面上の、他の平面との交線で分け られた1つ1つの領域は、それまですでにあった空間領域の1つを2つに分ける‘面’であるの で、k枚目の平面によって、空間領域は、((k-1)^2+(k-1)+2)/2個増える。 よって、1+∑[n、K=1]((k-1)^2+(k-1)+2)/2=(n^3+5n+6)とあります。 ようするに、k枚目の平面を入れると、f(k-1)個の領域が増えるとなっていますが、 分からないのは、f(k-1)=((k-1)^2+(k-1)+2)/2-(2)ということなので、 平面の領域の個数(n^2+n+2)/2にn=k-1を代入すると、(2)になりますが、 例えば、添付画像の3(=k-1と考えて)本の領域には7個の領域がありますが、 4(=kと考えて)本目の直線を引くと、7個の領域が増えると言った内容の説明があります。 空間の領域の個数を求める問題であるのに、なぜ、平面での増えた領域の数が空間の領域 の数が対応するのかが理解出来ません。 Tacosan様、先ほどは失礼いたしました、改めて質問させて頂きます。 何卒宜しくお願い致します。

  • 高校数学、3次元の式の考え方

    高校数学、3次元の式の考え方 中心が(1、-3,2)で原点を通る球をSとする。 (1)Sとyz平面の交わりは円になる。この円の中心と半径を求めよ。 (2)Sとz=kの交わりは半径√5の円になるという。kの値を求めよ。 (問題集の解答) (1) Sの半径rは中心(1、-3,2)と原点との距離に等しいからr^2=1^2+(-3)^2+2^2=14 よって、Sの方程式は(x-1)^2+(y+3)^2+(z-2)^2=14 球面Sとyz平面が交わって出来る図形の方程式は (y+3)^2+(z-2)^2=13かつx=0(★) これはyz平面上で中心(0、-3,2)半径√13の円を表す。 (2) Sとz=kが交わって出来る図形の方程式は (x-1)^2+(y+3)^2+(k-2)^2=14、z=k(★) (疑問) (1)直線と直線(曲線)の交点は点になる、平面と平面のぶつかったところは線(交線)になる、というのはわかるのですが、なにとなにがぶつかると平面になるのでしょうか? (2)例えばy=x+1とy=2xは(1,2)を交点に持ちます。 このとき、(1,2)はどのように求めたのかといえば、2直線の交点というのは2つの方程式をともに成り立たせるからこの連立方程式を解けばよいと考え、(1,2)を求めた。 では、 Sとyz平面の交わりをどう考えるのか? S:(x-1)^2+(y+3)^2+(z-2)^2=14、yz平面:x=0をともに満たすのが2つの交わりの正体と考えたのですが、(y+3)^2+(z-2)^2=13かつx=0となるのがイマイチピンときません。 方程式はxyzが満たすべき条件ですから、2つに方程式がなることもあるだろうなとは思いますが、(y+3)^2+(z-2)^2=13かつx=0がSの方程式、yz平面の方程式をともに満たしているというのがわかりません。 (3)3次元では平面の方程式はax+by+cz+d=0という形で表されます。 x=0ならばx=0という条件以外任意という意味ですから、yzへと延びてゆくと考えて、yz平面と判断しているのですが、3次元では直線の方程式はどう表されるのでしょうか?2次元ではx=0は直線なので、これを見ると少し違和感があります。 中心が(1、-3,2)で原点を通る球をSとする。 (1)Sとyz平面の交わりは円になる。この円の中心と半径を求めよ。 (2)Sとz=kの交わりは半径√5の円になるという。kの値を求めよ。 (問題集の解答) (1) Sの半径rは中心(1、-3,2)と原点との距離に等しいからr^2=1^2+(-3)^2+2^2=14 よって、Sの方程式は(x-1)^2+(y+3)^2+(z-2)^2=14 球面Sとyz平面が交わって出来る図形の方程式は (y+3)^2+(z-2)^2=13かつx=0(★) これはyz平面上で中心(0、-3,2)半径√13の円を表す。 (2) Sとz=kが交わって出来る図形の方程式は (x-1)^2+(y+3)^2+(k-2)^2=14、z=k(★) (疑問) (I)直線と直線(曲線)の交点は点になる、平面と平面のぶつかったところは線(交線)になる、というのはわかるのですが、なにとなにがぶつかると平面になるのでしょうか? (II)例えばy=x+1とy=2xは(1,2)を交点に持ちます。 このとき、(1,2)はどのように求めたのかといえば、2直線の交点というのは2つの方程式をともに成り立たせるからこの連立方程式を解けばよいと考え、(1,2)を求めた。 では、 Sとyz平面の交わりをどう考えるのか? S:(x-1)^2+(y+3)^2+(z-2)^2=14、yz平面:x=0をともに満たすのが2つの交わりの正体と考えたのですが、(y+3)^2+(z-2)^2=13かつx=0となるのがイマイチピンときません。 方程式はxyzが満たすべき条件ですから、2つに方程式がなることもあるだろうなとは思いますが、(y+3)^2+(z-2)^2=13かつx=0がSの方程式、yz平面の方程式をともに満たしているというのがわかりません。 (III)3次元では平面の方程式はax+by+cz+d=0という形で表されます。 x=0ならばx=0という条件以外任意という意味ですから、yzへと延びてゆくと考えて、yz平面と判断しているのですが、3次元では直線の方程式はどう表されるのでしょうか?2次元ではx=0は直線なので、これを見ると少し違和感があります。

  • 線形代数の問題です。解き方を教えてください。

    ありがとうございます。 いつもお世話になってます。 2平面 x-3y+z=0 , 3x+2y-z=-4 の交点をLとし、L上にない点P(1,2,-3)をとる。 (1)点Pを通り、交線Lに平行な直線の方程式を求めよ。 (2)点Pを通り、交線Lに垂直な平面の方程式を求めよ。 教科書を見ましたがわかりません。 どなたか、順をおって説明をお願いします。

  • 数学の問題がわかりません。

    3次元空間における点Pはx,y,zの直交座標系で成分(1,1,1)を持つとしたとき、原点と点Pを通る直線をLとする。 (i)点Pを通り、直線Lと垂直な平面をQとするときのQとxy平面の交線の式を求めよ (ii)点Pを通り、直線Lと30度の角度をなす直線を直線L周りに回転させる。 このとき、直線とxy平面の軌跡は楕円を描く。この楕円の中心を求めよ。 という問題なのですが、どう解けばいいかがわかりません。 どのように導入をするのか、式をつかえばいいかがわからないので 教えて頂きたいです。 よろしくお願いします。

  • 線の長さの計算を教えてください。

    線の長さの計算がわかりません。下記の計算を教えてください。 A点からB点までの3次元上の線の長さ 方向 A点:X-Y平面上45°(X-Z平面上0°) B点:X-Y平面上-180°(X-Z平面上-180°) 距離 X方向:1400 Y方向:800 Z方向:400 その他条件 直線と半径570の曲線のみを使ってA点からB点までを最短距離で結んだ時の長さ。 どなたか宜しくお願いします。

  • 組み合わせの図形への応用の問題が分かりません

    こんにちは。 『平面上に、3本のみが互いに平行で、どの3本も1点で交わらない20本の直線がある。このとき、平面上の交点は全部で何個あるか。また、これら20本の直線により、平面は何個の領域に分割されるか。』 という問題の、平面上の交点は全部で187個というのは出せたのですが、「平面は何個の領域に分割されるか」がいくら考えても分かりません。 答えは208個なのですが、途中の考え方を教えて下さい。 よろしくお願いします。

  • 交点の計算

    関数電卓を使って、交点の計算を早くしたいです。 XY平面上の既知点AとBを通る直線と、CとDを通る直線の交点です。一応、1.統計計算で式を作り、2.方程式計算で解を求めるという方法は知っていますが、これでもかなり大変です。 行列計算をうまく使ったら、一度に解ける方法があるのではないかと思うのですが、知りませんか? よいサイトなどございましたら、ご紹介ください。 なお関数電卓でプログラムは使用不可です。