組み合わせの図形への応用の問題が分かりません

質問

こんにちは。

『平面上に、３本のみが互いに平行で、どの３本も１点で交わらない２０本の直線がある。このとき、平面上の交点は全部で何個あるか。また、これら２０本の直線により、平面は何個の領域に分割されるか。』
という問題の、平面上の交点は全部で１８７個というのは出せたのですが、「平面は何個の領域に分割されるか」がいくら考えても分かりません。
答えは２０８個なのですが、途中の考え方を教えて下さい。
よろしくお願いします。

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

n本の線で分割された空間の個数をa_nとします。
何も書かれていない空間は一つの領域となっています。a_0=1

一本線を引くと、空間は二つに分かれます。a_1=2

この線に平行でない直線を引くと、新しい直線は既存の直線と1箇所で交わります。その交点で、新しい直線は二つの半直線に分割されますが、それぞれの半直線が空間を分割します。一つの分割で領域が一つ増えますので、二つの半直線で二つ領域が増える計算になります。a_2=a_1+2=4

さらに、元からある二つの直線に平行でない直線を先ほどの2直線の交点と違う場所を通るように引きます。
すると、この直線は既存の2本の直線と2箇所で交わり、この直線は2個の半直線と一つの線分に分割されます。
この3つの部分がそれぞれ空間を分割します。よって、領域の数は3つ増えます。a_3=a_2+3=7

つまり、平行な直線が無く3本以上の直線が1点で交わらないように線を引いていくと、n+1本目の線を追加すると元からある直線との交点はn個であり、その直線はn+1個の部分に分かれるため領域の数はn+1個増えます。
a_(n+1)=a_n+(n+1)

これを18本目まで行い、あとは一本の直線と平行に2本引きます。
この際には19本目で元からある直線との交点は17個ですから、(途中略)、a_19=a_18+18
同様に．．．a_20=a_19+?

もちろん、a_18までは漸化式が判っていますので一般項を求め代入するなりしたほうがよいでしょう。

お礼

ありがとうございます。
もう少しで分かりそうなのに、まだ答えを導き出せないのですが、考え方が分かってすっきりしました。
ありがとうございました。

回答No.1

f272

n本の直線があるときの平面上の交点の数をf(n)とする。
n=3までは互いに平行な直線をおくとして
f(1)=f(2)=f(3)=0
4本目の直線は3本の直線と交わるのでf(4)=f(3)+3
5本目の直線は4本の直線と交わるのでf(5)=f(4)+4
以下同様

n本の直線があるときの平面上の領域の数をg(n)とする。
n=3までは互いに平行な直線をおくとして
g(1)=2
g(2)=3
g(3)=4
4本目の直線は3本の直線と交わるので...
あとは考えてください。

お礼

ありがとうございます。
こんなに難しい問題とは思いませんでした。
最後まで導き出せなかったです(￣　￣゜)
すみません。
ありがとうございました。