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ゼータ関数のs=1での留数の求め方は?
ringohatimituの回答
- ringohatimitu
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>>うーん、どうやって ∫_{0.9}^{∞} u^{-s} d[u]からs∫_{0.9}^{∞} u^{-s-1} [u] duが出てくるのでしょうか? 種明かしをお願い致します。m(_ _)m 部分積分は合ってると思います。その後の第一項の極限は0になります。 Re(s)＝σ>1なので、c→∞のとき |c^{-s}[c]|＝c^{-σ}[c]≦c^{1-σ}→0 でどうでしょうか？ >>どのようにしてE(s)がs=1で正則である事が言えますでしょうか? これは実は最初の回答でサラッと述べてあったのですがMoreraの定理を使うと手っ取り早いです。 これもここで長々と説明するのは不適なので定理はご自分で確認していただければありがたいですが 基本的にはRe(s)>0の範囲にある任意の閉曲線の上で積分をとって0になればその範囲で正則であるというものです。その際、積分順序を交換して示すことになりますが積分の中身がRe(s)>0のときには問題なくFubiniの定理が使えることに注意すればよいでしょう。 もちろんMoereraの定理を使わなくても直接べき級数展開してもよいと思いますが複雑になることが予想されるので個人的に試したことはありません。
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>>>うーん、どうやって > ∫_{0.9}^{∞} u^{-s} d[u]からs∫_{0.9}^{∞} u^{-s-1} [u] duが出てくるのでしょうか? > 種明かしをお願い致します。m(_ _)m > 部分積分は合ってると思います。その後の第一項の極限は0になります。 > Re(s)＝σ>1なので、c→∞のとき > |c^{-s}[c]|＝c^{-σ}[c]≦c^{1-σ}→0 > でどうでしょうか？ バッチシです! どうも有難うございます。 >>>どのようにしてE(s)がs=1で正則である事が言えますでしょうか? > これは実は最初の回答でサラッと述べてあったのですが > Moreraの定理を使うと手っ取り早いです。 『D⊂A⊂C(但し,Cは複素数体)とし,Dが開領域でMap(A,C)∋fがDで連続とする。 この時, D⊃∀cは閉曲線で∫_cf(z)dz=0⇒fはDで正則』 というのがMoreraの定理ですね。 > これもここで長々と説明するのは不適なので定理は > ご自分で確認していただければありがたいですが > 基本的にはRe(s)>0の範囲にある任意の閉曲線の上で > 積分をとって0になればその範囲で正則であるというものです。 > その際、積分順序を交換して示すことになりますが積分の中身が > Re(s)>0のときには問題なくFubiniの定理が使えることに注意すればよいでしょう。 > 『(X,M,μ)と(Y,N,ν)をσ有限測度空間とし, μ(X_n)∈R且つν(Y_n)∈R, E⊂X×Yに対してE_x:={y∈Y;(x,y)∈E}且つE_y:={x∈X;(x,y)∈E}と定義する時, 次の(i),(ii),(iii)が成立つ。 (i) E∈M(×)N (但し,(×)は積σ集合体)⇒E_x∈N for∀x∈X且つE_y∈M for∀y∈Y, (ii) R∋ν(E_x)はxについてM可測関数且つR∋μ(E_y)はyについてN可測関数, (iii) ∫_X ν(E_x)dμ=∫_Yμ(E_y)dν=λ(E) (但し,λ(E):=μ(E_y)ν(E_x), つまりλは積測度)』 がFubiniの定理ですね。 > もちろんMoereraの定理を使わなくても直接べき級数展開しても > よいと思いますが複雑になることが予想されるので個人的に試したことはありません。 それでもって,今∫_1^∞u{-s-1}([u]-u)duがRe(s)>0で正則である事を示したいの だからf(u):=∫_1^∞u{-s-1}([u]-u)duと置いて示していくことになるのですね。 先ず,f(u)がD:={s∈C;Re(s)>0}で連続であるので(∵要証), {s∈C;Re(s)>0}⊃∀c:=c(t)(:=u(t)+iv(t))は閉曲線に対して (但し,t∈[0,1]でc(0)=c(1)=0とし,∀t∈[0,1]に対して,lim_{t→s}|c(t)-c(s)|=0), ∫_cf(z)dz=0である事を示せばよい。 ∫_cf(z)dz=∫_{c(t)} f(z)dz =lim_{max{|t_k-t_{k+1}|;t_k∈[0,1]}→0}Σ_{k=0}^n f(ξ_k)(c(t_k)-c(t_{k+1})) (但し,ξ_k∈[t_k,t_{k+1}]) まで来てから頓挫してるですが、、 ここからどのようにFubiniの定理を使って,=0を導け出せるでしょうか? 誠に申し訳ありません。