ゼータ関数のs=1での留数の求め方は?

質問

ζ関数のs=1での留数は1になるそうなのですが
どのようにして求めるのでしょうか?

どなたかご教示ください。

回答No.1

ringohatimitu

部分積分を使うと楽に計算出来ますよ。
具体的にはまずRe(s)>1としておいて、
ζ(s)＝Σ_{n=1}^{∞} n^{-s}＝∫_{0.9}^{∞} u^{-s} d[u]
と積分表示します。
ここで最後の[u]はGauss記号を表し、積分区間にある↑は下から1へ近づける極限操作を表します。
さて、部分積分の公式をそのままあてはめれば
∫_{0.9}^{∞} u^{-s} d[u]＝s∫_{0.9}^{∞} u^{-s-1} [u] du＝s∫_{1}^{∞} u^{-s-1} [u] du
＝s∫_{1}^{∞} u^{-s} du + s∫_{1}^{∞} u^{-s-1} ([u]-u) du
＝s/(s-1) + E(s)＝1+1/(s-1)+E(s)
となります。ここまではRe(s)>1と仮定して話を進めてきましたが一番最後の式に注目してみましょう。
まず第一項、第二項はs＝1を除いて全平面で正則。次に第三項E(s)は([u]-u)が有界であることからRe(s)>0の部分で絶対収束し、その結果正則であることが分かります(Moreraの定理などを使えばよいでしょう)。
結局ζ(s)の右半平面への解析接続が得られたわけです。
そして明らかにs＝1での留数は1であることも分かりますね。

お礼

ご回答誠に有難うございます。

『∫・ d[u]』という形態の積分は初めて目にして面食らっております。

ζ(s):=∫_∞^εu^{s-1}/(e^u-1) du
+∫_0^2π(εe^{iθ})^{s-1}εie^{iθ}/(e^{εe^{iθ}}-1) dθ
+∫_ε^∞e^{2πis}u^{s-1}/(e^u-1) du
(但し,0<ε<2π)

をベキ級数に展開して求めるやり方をお教えいただけないでしょうか?

お手数お掛けしましてまことに申し訳ございません。m(_ _)m