ゼータ関数のs=1での留数の求め方は?

質問

ζ関数のs=1での留数は1になるそうなのですが
どのようにして求めるのでしょうか?

どなたかご教示ください。

回答No.6

ringohatimitu

>>∫_cf(z)dz=0である事を示せばよい。
∫_cf(z)dz=∫_{c(t)} f(z)dz
=lim_{max{|t_k-t_{k+1}|;t_k∈[0,1]}→0}Σ_{k=0}^n f(ξ_k)(c(t_k)-c(t_{k+1}))
(但し,ξ_k∈[t_k,t_{k+1}])
まで来てから頓挫してるですが、、
ここからどのようにFubiniの定理を使って,=0を導け出せるでしょうか?

最初の示すことは合っていますが次のlimからの式がよく分かりません。maxをとっている？
まずFubiniの定理についてですが別の形、すなわち「積分順序の交換」の形が必要です。
以下参照してみてください：http://planetmath.org/encyclopedia/tonellistheorem.html
閉曲線(滑らかとしてよい)をc(t)として

∫_c f(z)dz＝∫_0^1 {∫_1^∞ u{-c(t)-1}([u]-u)c'(t) du}dt

ですね。ここでFubini(Tonelli)の定理を適用するのです。積分の中で絶対値をとってみると

|u{-c(t)-1}([u]-u)c'(t)|≦Ku^{-1-r}

となります。ここでKは定数、rはRe{c(t)}>rを満たす正数です。
従ってTonelliの定理から被積分関数が積空間[0,1]×[1,∞)の上で可積分となります。
そのときFubiniの定理から積分の順序は好きなように交換してよいことが保障されていますから最初の式で順序を交換すれば

∫_0^1 {∫_1^∞ u{-c(t)-1}([u]-u)c'(t) du}dt＝∫_1^∞{∫_0^1 u{-c(t)-1}([u]-u)c'(t) dt}du

です。右辺の{}の中は正則関数の閉曲線上での積分ですから当然0です。結局全体は0ですね。

お礼

大変有難うございます。

> 最初の示すことは合っていますが次のlimからの式がよく分かりません。maxをとっている？

lim_{max{|t_k-t_{k+1}|;t_k∈[0,1]}→0}Σ_{k=0}^n f(ξ_k)(c(t_k)-c(t_{k+1}))
(但し,ξ_k∈[t_k,t_{k+1}])
は単なる複素積分の定義式でした。

> まずFubiniの定理についてですが別の形、すなわち「積分順序の交換」の形が必要です。
> 以下参照してみてください：http://planetmath.org/encyclopedia/tonellistheorem.html

何故かなかなかアカウント登録が完了せず見れない状態にあります。
Tonelliの定理とは
『(X,M,μ),(Y,N,ν)をσ有限とし,E⊂X×Yに於いて,写像E_X,E_Yを夫々EからX,Yへの射影とする。
この時,E∈M(×)Nに対して,E_X(X)⊂(0,+∞],E_Y(Y)⊂(0,∞]ならば
ν(E_X),μ(E_Y)は夫々M可測関数,N可測関数で∫_Xν(E_X(x))dμ=∫_Yμ(E_Y(y))dν=λ(E)
(但し,λはμとνの積測度)』
ですよね。

> 閉曲線(滑らかとしてよい)をc(t)として

勿論"滑らか"であれば
∫_{s=c(t)}[∫_1^∞u^{-s-1}([u]-u)du]ds
=∫_{s=c(0)}^{s=c(1)}[∫_1^∞u^{-s-1}([u]-u)du]ds
=∫_{t=0}^{t=1}[∫_1^∞u^{-c(t)-1}([u]-u)du]d/dt c(t) dt
と変数変換する時に「d/dt c(t)」が出せるからありがたい事は確かですが,
もし,c(t)が滑らかでない(微分不能)場合はどのように対処すればいいのでしょうか?

> ∫_c f(z)dz＝∫_0^1 {∫_1^∞ u{-c(t)-1}([u]-u)c'(t) du}dt
：
> です。右辺の{}の中は正則関数の閉曲線上での積分ですから当然0です。結局全体は0ですね。

あとはそのようになりますね。