留数定理を使って １／√ｓのラプラス逆変換を求めよ

質問

留数定理を使って　１／√ｓのラプラス逆変換を求めよ

答えは１／√（πｘ）です。

極は　ｓ＝０　と思います。
変換表の答えは知ってますが、ブロムウイッチの積分路を用いた計算がわかりません。
つまり留数の計算その物がわかりません。

宜しくお願いします。

回答No.1

Ae610

invL｛1/√s｝
＝1/(2πi)∫[ξ-i∞,ξ+i∞]｛e^(st)/√s｝ds

積分路を以下の様に取る
c1:[ξ-iR,ξ+iR]
c2:実軸と平行に[ξ+iR→iR]および[-iR→ξ-iR]
c3:原点を中心として半径Rの円上を[iR→-R]および[-R→-iR]
c4:実軸(-R,-ε)および原点の周りを半径εで一週させて(-ε,-R)としてε→0にする

R→∞にして各積分路において計算を実行
上記積分路で考えれば正則になるのでコーシーの積分定理が使えると思う。

c1がR→∞としたときブロムウィッチ積分路の表現式となる
c2,c3が各各打ち消し合う
あとはc4を計算するが、Γ関数の積分表示に関する公式を利用するすることになると思う。

お礼

何故１／√（πｘ）になるのでしょうか？