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ゼータ関数のs=1での留数の求め方は?
ringohatimituの回答
>>勿論"滑らか"であれば ∫_{s=c(t)}[∫_1^∞u^{-s-1}([u]-u)du]ds =∫_{s=c(0)}^{s=c(1)}[∫_1^∞u^{-s-1}([u]-u)du]ds =∫_{t=0}^{t=1}[∫_1^∞u^{-c(t)-1}([u]-u)du]d/dt c(t) dt と変数変換する時に「d/dt c(t)」が出せるからありがたい事は確かですが, もし,c(t)が滑らかでない(微分不能)場合はどのように対処すればいいのでしょうか? ええとですね。。。前にも懸念していたのですが、やはり基礎的なところが欠如していると言わざるを得ません。まず複素積分は普通「区分的に滑らかな曲線に対して定義されます。もちろん一般の曲線に対しても定義出来ますがそれは実用上使われることはほとんどないと言ってよいでしょう。 これは「ある程度良い性質を持った」一般の曲線が区分的に滑らかな、或いはたくさんの三角形によって近似出来るからです。 そしてMoreraの定理をもう一度復習してください。単にwikiで見るだけでも「for every closed piecewise C^1 curve in D」と表現されてます。 要するに滑らかな曲線に対して積分を考えればよいのです。 あと、蛇足ながら。。。 だいぶ当初の質問から離れてきて複素解析の初歩的な部分に移ってきていると思われますが、私の経験上一つの目安として、次から次と分からないところが出てきてしまうということは完全に基礎が疎かになっていることが原因であることが多いです。Fubiniの定理やMoreraの定理などは自由自在に扱える状態じゃないとζ関数はなかなか上手く扱えません。
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お礼
大変大変有難うございます。 > もし,c(t)が滑らかでない(微分不能)場合はどのように対処すればいいのでしょうか? > ええとですね。。。前にも懸念していたのですが、やはり基礎的なところが欠如していると言わざるを得ません。まず複素積分は普通「区分的に滑らかな曲線に対して定義されます。もちろん一般の曲線に対しても定義出来ますがそれは実用上使われることはほとんどないと言ってよいでしょう。 > これは「ある程度良い性質を持った」一般の曲線が区分的に滑らかな、或いはたくさんの三角形によって近似出来るからです。 > そしてMoreraの定理をもう一度復習してください。単にwikiで見るだけでも「for > every closed piecewise C^1 curve in D」と表現されてます。 > 要するに滑らかな曲線に対して積分を考えればよいのです。 piecewise C^1 の条件があったとは幸いです。お陰様で助かりました。 > あと、蛇足ながら。。。 > だいぶ当初の質問から離れてきて複素解析の初歩的な部分に移ってきていると思われますが、私の経験上一つの目安として、次から次と分からないところが出てきてしまうということは完全に基礎が疎かになっていることが原因であることが多いです。Fubiniの定理やMoreraの定理などは自由自在に扱える状態じゃないとζ関数はなかなか上手く扱えません。 了解いたしました。日々切磋琢磨したいと思います。