ゼータ関数のs=1での留数の求め方は?

質問

ζ関数のs=1での留数は1になるそうなのですが
どのようにして求めるのでしょうか?

どなたかご教示ください。

回答No.2

ringohatimitu

>>『∫・ d[u]』という形態の積分は初めて目にして面食らっております。

実解析は学習されたことは無いでしょうか？
有界変動な関数に対する少し拡張された部分積分法があります。
大抵の実解析の本には載ってるので参照してみください。特別難しいものでもないですし様々な場面で使える大変便利なものです。習得することを是非おすすめします。

>>ζ(s):=∫_∞^εu^{s-1}/(e^u-1) du +∫_0^2π(εe^{iθ})^{s-1}εie^{iθ}/(e^{εe^{iθ}}-1) dθ
+∫_ε^∞e^{2πis}u^{s-1}/(e^u-1) du (但し,0<ε<2π)
をベキ級数に展開して求めるやり方をお教えいただけないでしょうか?

あなたのζ(s)というのは世間で広く呼ばれるζ関数とは違ってるようですが何か書き忘れていませんか？
Γ関数などがかかってるのではないでしょうかね。。
この表現を出発点に各積分の中身をsについてべき級数展開するということでしょうか？
ちなみにこの表式はsについてどの範囲で正則か（すなわち最初のζからどこまで解析接続されているか）分かりますか？

お礼

ご回答誠に有難うございます。　

>>>『∫・ d[u]』という形態の積分は初めて目にして面食らっております。
> 実解析は学習されたことは無いでしょうか？

一応,ありますがこのような形態の積分には出会いませんでした。

> 有界変動な関数に対する少し拡張された部分積分法があります。
> 大抵の実解析の本には載ってるので参照してみください。
> 特別難しいものでもないですし様々な場面で使える大変便利なものです。
> 習得することを是非おすすめします。

有難うございます。ちょっと調べてみたいと思います。

>>>ζ(s):=∫_∞^εu^{s-1}/(e^u-1) du
>>>+∫_0^2π(εe^{iθ})^{s-1}εie^{iθ}/(e^{εe^{iθ}}-1) dθ
> +∫_ε^∞e^{2πis}u^{s-1}/(e^u-1) du (但し,0<ε<2π)
> をベキ級数に展開して求めるやり方をお教えいただけないでしょうか?
> あなたのζ(s)というのは世間で広く呼ばれる
>ζ関数とは違ってるようですが何か書き忘れていませんか？
> Γ関数などがかかってるのではないでしょうかね。。

ζ(s):=1/Γ(s) ∫_0^∞x^{s-1}/(e^x-1)dxというものでしょうか?
これはΣ_{n=0}^∞1/n^sのRe(s)>0への解析接続になっているのでしょうか。。

さらにΓ(s):=n!n^s/Π_{k=0}^n(s+k)と考えると,
ζ(s):=1/(n!n^s/Π_{k=0}^n(s+k)) ∫_0^∞x^{s-1}/(e^x-1)dx
はΣ_{n=0}^∞1/n^sのC＼{1}への解析接続になっているのでしょうか?

> この表現を出発点に各積分の中身をsについてべき級数展開するということでしょうか？

はい、さようでございます。是非お願い致します。m(_ _)m

> ちなみにこの表式はsについてどの範囲で正則か
> （すなわち最初のζからどこまで解析接続されているか）分かりますか？

はい、C＼{1}で正則です。