ゼータ関数のs=1での留数の求め方は?

質問

ζ関数のs=1での留数は1になるそうなのですが
どのようにして求めるのでしょうか?

どなたかご教示ください。

回答No.4

ringohatimitu

>>ところで0.9は何処から来るのでしょうか?

0と1の間にある数であれば何でもよいです。要は積分区間を1より少し下から始めて後で1に近づけるlim_{ε↓0}∫_{1-ε}^...の要領です。

>>すいません。Stieltjes積分の部分積分の公式をお教え下さい(ちょっと見つけれませんでした)。

絶対連続関数に対する部分積分法です。ここで一般論を長々と解説するのは色々な面で不適なので実解析の本を参照していただくか、あるいはwikiなどのサイトをいくつか当たっていただけると有難いです。今ならそこらへんにpdfファイルなどでupしてくれてる人も多いので少し検索すれば見つかると思います。あるいは本屋さんでルベーグ積分などの本を見てみるとよいでしょう。絶対連続関数の項目があればほぼ間違いなく載ってます。

>>> ＝s/(s-1) + E(s)＝1+1/(s-1)+E(s)
ここはどのように変形なさったのでしょうか?
どうやってs/(s-1)が出てくるのでしょうか?

失礼しました、E(s)は前述の式において二番目の積分で定義される関数です。
第一項を普通に積分すればs/(s-1)が得られます。

>>これはlim_{s→1}(s-1)(1+1/(s-1)+E(s))=1となる事から分かりますね。

えーと、これは全く正しいのですが。。ちょっと付け加えると、留数の定義は1位の極における係数ですから1+1/(s-1)+E(s)という表式でE(s)がs=1で正則であることが分かってる場合そのような極限をとることに違和感があります。展開を見れば一目留数1なわけです。

以下蛇足ですが、、質問者さんがどのような経緯でζ関数について勉強しているかは分かりませんがζ関数の性質をを学ぶのに必要最低限の複素関数論、実解析の知識が少し足りてないように思います。
アドバイスですが、ζ関数を学びながら必要な事柄をその都度吸収していく姿勢は素晴らしいですがもしかしたらその前に一通り解析の基礎を学んだ方がよりスムーズに進めることが出来るかもしれませんよ。

お礼

どうも有難うございます。

>>>ところで0.9は何処から来るのでしょうか?
> 0と1の間にある数であれば何でもよいです。要は積分区間を
> 1より少し下から始めて後で1に近づけるlim_{ε↓0}∫_{1-ε}^...の要領です。

了解いたしました。

>>>すいません。Stieltjes積分の部分積分の公式を
> お教え下さい(ちょっと見つけれませんでした)。
> 絶対連続関数に対する部分積分法です。ここで
> 一般論を長々と解説するのは色々な面で不適なので実解析
> の本を参照していただくか、あるいはwikiなどのサイトをいくつか
> 当たっていただけると有難いです。今ならそこらへんにpdfファイル
> などでupしてくれてる人も多いので少し検索すれば見つかると思います。
> あるいは本屋さんでルベーグ積分などの本を見てみるとよいでしょう。
>絶対連続関数の項目があればほぼ間違いなく載ってます。

http://d.hatena.ne.jp/redcat_math/20071018
で見つけました。
『f(x),g(x)が区間I=[a,b]上の有界変動関数で共通な不連続点を持たないならば
∫_a^bf(x)dg(x)=[f(x)g(x)]_a^b-∫_a^bg(x)df(x)が成立つ』
ですね。

従って,「∫_{0.9}^{∞} u^{-s} d[u]＝s∫_{0.9}^{∞} u^{-s-1} [u] du」の式変形はこの部分積分法を使うと
∫_{0.9}^{∞} u^{-s} d[u]=[u^{-s}[u]]_0.9^∞-∫_0.9^∞[u]du^{-s}
=lim_{c→∞}(0.9^{-s}[0.9]-c^{-s}[c])-∫_0.9^∞[u]du^{-s}
=lim_{c→∞}(0.9^{-s}・0-c^{-s}[c])-∫_0.9^∞[u]du^{-s}
=lim_{c→∞}(0-e^{-s(ln(c))}[c])-∫_0.9^∞[u]du^{-s}(∵複素数乗の定義)
=lim_{c→∞}(-e^{-(Re(s)+iIm(s))(ln(c))}[c])-∫_0.9^∞[u]du^{-s}
=lim_{c→∞}(-e^{-Re(s)}e^{iIm(s)ln(c)}[c])-∫_0.9^∞[u]du^{-s}
=lim_{c→∞}(-e^{-Re(s)}(cos(Im(s)ln(c))+isin(Im(s)ln(c)))[c])-∫_0.9^∞[u]du^{-s}
=lim_{c→∞}(-e^{-Re(s)}(cos(Im(s)ln(c))+isin(Im(s)ln(c)))[c])-∫_0.9^∞[u]du^{-s}
となり,
(cos(Im(s)ln(c))+isin(Im(s)ln(c)))[c]の部分はc→∞になるに連れて,
[c]→∞となるので大雑把に言えば外に広がっていく渦巻状の曲線になるので発散するのではないのでしようか?
うーん、どうやって
∫_{0.9}^{∞} u^{-s} d[u]からs∫_{0.9}^{∞} u^{-s-1} [u] duが出てくるのでしょうか?
種明かしをお願い致します。m(_ _)m

>>>> ＝s/(s-1) + E(s)＝1+1/(s-1)+E(s)
> ここはどのように変形なさったのでしょうか?
> どうやってs/(s-1)が出てくるのでしょうか?
> 失礼しました、E(s)は前述の式において二番目の積分で定義される関数です。
> 第一項を普通に積分すればs/(s-1)が得られます。

E(s):=s∫_{1}^{∞} u^{-s-1} ([u]-u) du
で
s∫_{1}^{∞} u^{-s} du=1/(s-1)
なのですね。
s∫_{1}^{∞} u^{-s} du=s lim_{c→∞}[u^{1-s}/(1-s)]_1^c
=s lim_{c→∞}(1^{1-s}/(1-s)-c^{1-s}/(1-s))
=s lim_{c→∞}(1^{1-s}/(1-s)-e^{(1-s)ln(c)}/(1-s))
=s lim_{c→∞}(1^{1-s}/(1-s)-e^ln(c)e^{(-sln(c)}/(1-s))
=s lim_{c→∞}(1^{1-s}/(1-s)-e^ln(c)e^{(-ln(c)(Re(s)+iIm(s))}/(1-s))
=s lim_{c→∞}(1^{1-s}/(1-s)-e^ln(c)e^{(-ln(c)Re(s)}e^{iIm(s)}/(1-s))
=s lim_{c→∞}(1^{1-s}/(1-s)-e^ln(c)e^{(-ln(c)Re(s)}(cos(Im(s))+isin(Im(s)))/(1-s))
=s lim_{c→∞}(1^{1-s}/(1-s)-e^{(-ln(c)(Re(s)-1)}(cos(Im(s))+isin(Im(s)))/(1-s))
=s/(1-s) (∵今,e^{(-ln(c)(Re(s)-1)}→0 (as c→∞))
=1+1/(1-s)
と上手くいきました。

あとはちE(s)がs=1の周りでTaylor展開できる事が言えれば,
Σ_{n=1}^∞1/n^-sのs=1を中心とするLaurent展開が得られた事になりますね。
その為に,E(s)がs=1で正則である事が言えれば,E(s)をs=1を中心としたベキ級数に展開可能なのですが
どのようにしてE(s)がs=1で正則である事が言えますでしょうか?

>>>これはlim_{s→1}(s-1)(1+1/(s-1)+E(s))=1となる事から分かりますね。
> えーと、これは全く正しいのですが。。ちょっと付け加えると、
> 留数の定義は1位の極における係数ですから1+1/(s-1)+E(s)という表式で
> E(s)がs=1で正則であることが分かってる場合そのような極限をとることに
> 違和感があります。展開を見れば一目留数1なわけです。

仰る通りです。

> 以下蛇足ですが、、質問者さんがどのような経緯でζ関数について
> 勉強しているかは分かりませんがζ関数の性質をを学ぶのに必要最低限の
> 複素関数論、実解析の知識が少し足りてないように思います。
> アドバイスですが、ζ関数を学びながら必要な事柄をその都度吸収していく姿勢は
> 素晴らしいですがもしかしたらその前に一通り解析の基礎を学んだ方がより
> スムーズに進めることが出来るかもしれませんよ。

検討してみたいと思います。