年利、元本等の計算です。

質問

年利、元本、利息の計算が学校の宿題で出たのですが、さっぱりわかりません(:ω;)解説も踏まえて簡単な解き方をを教えていただきたいです( >ω< )以下が問題です。【１、年利５％で、毎期ごとに、元本100万円とともに受け取った利息も追加投資する預金(複利)の、３年後の元本と利息】【２、年利５％の場合、元本100万円にのみ利息がつく預金(単利)の、３年後の元本と利息の合計はいくらか】【３、年利５％(複利)の場合、２年後の１００万円の将来価格はいくらか】【４、年利５％(複利)の場合、２年後の１００万円の現在価格はいくらか】【５、年利３％(複利)で、一年目に5.000円、二年目に10.000円、三年目に6.000円受け取る年金の現在価格は？】【６、年利３％(複利)の場合、一年目に5.000円ずつ10年間受け取る年金の現在価格は】【７、年利３％(複利)の場合、一年目に5.000円ずつ、永久に受け取り続ける年金の現在価格は】【８、年利３％(複利)の場合、一年後に100万円の投資を行い、二年後に120万円の収益が出る投資プロジェクトの正味現在価格はいくらか】の、計８問です。多くてすみません(:ω;)できれば今夜中にアンサーをくださると嬉しいです( >ω< )よろしくお願いいたします。

回答No.1

noname#208901

この問題はかなり頭を悩ませますよね。

わかるとどうでもないけど、私は法律の畑ですが、
利息制限法などで最初は頭を悩ましたものです。

最初に法律の話から入ります。

(1)利息を取ることの意味。
なんでお金を貸すと利息が発生するのでしょう。
100万円は100万円なんだから100万円返せばいいと思う。
しかし、あなたがたとえばマンションを人に貸したらやっぱり
家賃を取りますよね。
それと同じでお金を貸すと、その賃料をとるんです。
利息。なんていうお金に特有の言い方をするから、
お金だけ使用量とは違ったもののような印象を受けますよね。

お金を使わせてもらったという使用料金が利息であり、
それは、元本を基準にして、一定割合をかけることに
よって、算定することにしているわけです。

お金だから一番わかりやすいはずのもの＾＾
しかしだからこそ計算はややこしくなりそうです。
（まぁ家賃のときも家賃、としてお金に化ければ
一緒ですけどね。）

ここまでが利息を何で取るの？っていう説明です。

問題１

ちょっと読むとわれわれが預けた時の、銀行側の処理、
といったイメージですね。

100万円をあずけて、それとともに受け取った利息も
追加投資する預金（複利）ですから、
100万円を銀行に預け、1年で５％（羨ましい）利息が
着くとすると、
1年後には105万円になっているはずですよね。

この5万円は、100万円に対する利息としての5万円です。
だから、本来の100万円とはきりはなされた意味を持ちます。
しかしその後の文章

～も追加投資する預金

ですから、あらたに105万円をその年から預けた
（5万円は利息であると同時に、5万円も銀行に預けたという
形にした！！！）という処理を行っています。

ですから、この「105万円に対する５％の利息。
さらに1年後には、５２５００円が、この105万円に上乗せされる
ことになります。

そしてさらに次の年度はその1１02500円をさらに、1.05の倍率
で上乗せ。
3年後なので、

１００００００＊（１．０５）＾３＝１１５７６２５
3年後の、元本と利息、ですから、
元本はこの場合、2年目までに利息が加算された
ものが「元本」となりますから、１１0２５００が元本で、
５５１２５が利息、ということになるかな。
これをさらに預金の「元本」として、来年の
元本と利息も変わってきますよ。

2番は、常に100万円から「元本は動きません。」
だから単純に5万円ずつ上乗せです。

1００万円が元本で、15万円が利息かな。

3番「2年後の100万円の将来価格はいくらか。」

さきほど、2年後、この預けた100万円は、110万2500円
になってました。

ですから、将来価格は110万2500円なんじゃないの？
というのが普通思いつくところです。

つまり、利息とか元本とか関係なく、今この現在の100万円が
将来何万円になってますか？ということでしょう。

4番　2年後の100万円の現在価格とは。

3番から、2年後はこの100万円は110万2500円になっていると
出ましたよね。しかし、この110万2500円って、今で言えば
いくらなのか？というなぞなぞのような問題。

つまり、2年たってやっと、今の100万円は110万2500円になる。
その2年間というブランクを縮めれば、一体今はいくらなのか。

簡単に言えば、100万円を預けて、必ず3万円1年後にもらえる
銀行があるとして、103万円をもらう。

この103万円は、将来価格である。

しかし、この103万円は、現在で言えばいくらの価値があるか。
それはずばり、100万円である。

それと同様、この問題も、2年後に110万2500円もらえると
わかっているのであるから、2年後の110万2500円は、
今の100万円と同一価値をもつということである。

だけどだけど、問題は、2年後の「100万円は？」と
聞いているので、なんか解釈がわかれるような感じもするが、
上記解説がやけに問題っぽくない答えなので、あえて気にする
ことにする。

今、持っている100万円は紛れもなく100万円である。

でも2年後には、110万2500円になっている。
そのうちの、100万円に当たる部分は、今で言えばいくら
であろうか。という問題だろうか＾＾；

これは、１００÷（１．０５）＾２＝９０７０２９．４７８３・・・
である。

逆に言えば、この９０７０２９．４７８３・・・を銀行にあず
ければ、2年後には100万円になって帰ってくる。

これと同じ考え方で、5番。1年目に5000円受け取る。
年利３％の現在価格だから、４８５４．３６８９３２円

2年後に10000円だから、問い４回答の小数点を
縮めて、９０７０．２９４７８３・・・

3年後に6000円だから、６０００÷（１．０３）＾３で
５１８３．０２５５９

問６　大変ですな。
5000円は、1年後の価値。今の価値は
５０００÷１．０３＝４８５４．３６８９３
10年後には50000円

この５００００円の現在の価格は、

５０００÷（１．０３）＋５０００÷（１．０３）＾２＋・・・
５０００÷（１．０３）＾１０

数列が使えませんかね＾＾；ｗ

４８５４．３６８９３２
４７１２．９７９５４５
４５７５．７０８２９６
４４４２．４３５２３８
４３１３．０４３９２
４１８７．４２１２８１
４０６５．４５７５５４
３９４７．０４６１６８
３８３２．０８３６５８
３７２０．４６９５７
合計金額はお願いします。
合計金額が、将来受け取る年金50000円の
現在価格です。

問い７
６の応用で、将来受け取る年金の
5000÷１．０３＋５０００÷（１．０３）＾２
・・・・・５０００÷（１．０３）＾ｎ

これの合計額。
どうやって計算するのかすいませんが。

1年後に100万円を投資する。わけですから、
今は投資しないんですね。

だけど、普通に考えて、年利３％だったら、一年後に
100万円を預けただけでは、120万円の収益なんて
出ませんよね。福利でも。

だから、元々預けてある金額があって、そこに
100万円を投資して上乗せした結果、今から
2年後に120万円の収益が出た。ということが
言いたいわけですよね。

まず今の預金金額をNとおきます。
このNは、一年後には、１．０３の金利が加わって、
１．０３＊Nという金額になっています。

さて、そこに100万円を上乗せして投資しました。
だから、2年後は、

｛１．０３＊N）＊１．０３＋１００万＊１．０３
今のNと、元々加えた100万円を引いた結果、利益が120万円となった。
ということです。100万円は、１．０３の利息を見越して加えた
だけの金額ですから、収益ではないですよね。

（１．０３＊N）＊１．０３＋３００００ーN＝１２０万
この数式を解いて、Nの値を求めます。
１．０６０９N＋３００００－N＝１２０万
０．０６０９N＝１１７万
N＝１９２１１８２２．６６
つまり、１９２１万１８２２．６６円ということに。
よって、投資プロジェクトの正味現在価格は、
１９２１万１８２２．６６円です。

１００万円の投資については、１００万円部分に
利息がつくのは３００００円ですから、
３００００円の利益だけが重要かな。

今現在これぐらいの金額を預けておき、
１年後に１００万円の追加投資をすると、
１２０万円の利益が上がります。

ためしに、１９２１１８２２．６６を銀行に
預けます。これを複利３％で２年間
預けると、２０３８１８２２．６４ですね。
１年前に１００万円を追加投資してますから、
これに加え、３万円の利息がついてまして、
２０４１１８２２．６４となっています。

ですから、これから投資金額を引くと、
２０３８１８２２．６４－１９２１１８２２．６６ですかね。
＝１１９９９９９．９８
四捨五入して１２０万円の利益が出ました。

何か１００万円加えるあたり何ナノかな？って
思ったけどね。

こういうことされるとすごい間違ってる気がする。
小数点の絡んだ計算というのは不得手なので
間違ってても怒らないでくださいね。＾＾；ｗ
まぁ参考程度にでもなれば。