相空間上の点の流れとその非圧縮性

質問

自由度f=1の系でH=Eが閉曲線になる場合に次式が成り立つことを示したいと思っています。

（１／τ）∫〔0～τ〕dtf(z)_〔H=E〕＝{１／∫〔0～L〕(dσ／|∇H|)}∫〔0～L〕(dσ／|∇H|)f(z)_〔H=E〕

　運動の周期をτ、閉曲線の周の長さをL、H=E面の面積要素dσ＝{(dq)^2＋(dp)^2}^2、∇H＝(∂H／∂q,∂H／∂p)とおくのは分かりますが…。
　誠に恐縮で御座いますが、どなたか御回答を宜しく御願い申し上げます。

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

位相空間で、軌道の弧長をsとします。sと時間の関係は
　ds = √{(dq/dt)^2＋(dp/dt)^2} dt
です。軌道上では運動方程式
　dp/dt = -∂H/∂q
　dq/dt = ∂H/∂p
が成り立っているから
　√{(dq/dt)^2＋(dp/dt)^2} = |∇H|
これを
　τ =∫[0～τ]dt
という当たり前の式に代入すると、
　τ =∫[0～L] (ds/|∇H|)
これが示したい式の分母です。分子の方も同様に
　∫[0～τ]dtf(z)_H=E
　=∫[0～L](ds／|∇H|)f(z)_〔H=E〕
となることから、示したい式が得られます。つまり面積要素ではなく、線素を使わなければならないのです。

お礼

御回答どうもありがとう御座いました。
無事解決致しました。