位相空間における点の移動

質問

自由度f=1のqp位相空間に初期条件の異なる4つのトラジェクトリー(軌跡)が与えられ、4点A,B,C,Dは時刻tにおける4つのトラジェクトリーそれぞれの代表点とする。
ここでA(q,p), B(q+dp,p), C(q+dq,p+dp), D(q,p+dp)と定め、四角形ABCDは微小な長方形であるものとする。次に時刻がtからt+Δtに変化したとき、4点A,B,C,Dは別の4点A',B',C',D'に移動したものとすると、四角形A'B'C'D'は微小な平行四辺形になる。

この時の4点それぞれの移動を考える。
A'(q'p')とおくと、座標q',p'はA(q,p)が移動したものだから、それぞれqとpの関数q'(q,p),p'(q,p)となる。A(q,p)→A'(q'(q,p),p'(q,p))となる。
BからB'の移動も同様に考えると、
B(q+dq,p)→B'(q'(q+dq,p),p'(q+dq,p))=B'(q'(q,p)+(∂q'/∂q)*dq, p'(q,p)+(∂p'/∂q)*dq)
CからC'の移動は、
C(q+dq,p+dp)→C'(q'(q+dq,p+dp),p'(q+dq,p+dp))=C'(q'(q,p)+(∂q'/∂q)*dq+(∂q'/∂p)*dp, p'(q,p)+(∂p'/∂q)*dq+(∂p'/∂p)*dp)
DからD'の移動は、
D(q,p+dp)→D'(q'(q,p+dp),p'(q,p+dp))=D'(q'(q,p)+(∂q'/∂p)*dp, p'(q,p)+(∂p'/∂p)*dp)となる。

※質問です。まず、『A'(q'p')とおくと、座標q',p'はA(q,p)が移動したものだから、それぞれqとpの関数q'(q,p),p'(q,p)となる』とありますが、なぜq'とp'がどちらもpとqの2変数関数で表せるのか分かりません。Aの座標を(q,p)とおくので、これをどこにとるかによってA'の座標(q',p')も変化するのは分かりますが、その場合座標q'の値はqのみでなくpにも依存するのでしょうか、またp'の値はpだけでなくqにも依存するのでしょうか？何かもし具体例があれば、教えてください。

次にBの移動についてですが、なぜB'の座標がq'(q+dq,p),p'(q+dq,p)で表せるのか、そしてそのあとB'(q'(q+dq,p),p'(q+dq,p))=B'(q'(q,p)+(∂q'/∂q)*dq, p'(q,p)+(∂p'/∂q)*dq)となっていますが、一体どのように考えればこの右辺の式が導けるのか教えていただければと思います。
C,Dの移動についても同様の質問です。

回答No.1

noname#221368

まず一般的な数学の話としては、A'(q'，p')がA(q，p)によって定まるなら、q'＝q'(q，p)，p'＝p'(q，p)とするのが安全です。

＞Aの座標を(q,p)とおくので、これをどこにとるかによってA'の座標(q',p')も変化する・・・

からですよ。理由はそれだけです。上記をそのまま式にしたら、q'＝q'(q，p)，p'＝p'(q，p)になると思いませんか？。積極的な反対理由がない限り、これ以上の事はできません。

　次にもう少し物理を導入してみます。位相空間(q，p)なので、qは一般化座標，pは一般化運動量だと思いますが、普通の変位と運動量(x，mv)でもかまいません。作用力はそうですね、一様重力場にしときますか(^^)。つまり1次元の投げ上げ自由落下運動ですので、当然運動方程式を考慮する必要があります。

　A(x，mv)がトラジェクトリ上をA'(x'，mv')へ移動するとは、どうゆう運動でしょう？。運動方程式に従えば、(x，mv)を初期条件にした自由落下運動です。そうすると例えxが同じでも、その瞬間のv（その瞬間の投げ上げ速度）によってその後の挙動は違ってきますよね？。運動方程式がそれを保証します。

　従って「q'＝q'(q，p)，p'＝p'(q，p)にしない、積極的な反対理由がある」どころか、「q'＝q'(q，p)，p'＝p'(q，p)にするべき、積極的な理由がある」事になります。

　こういう基本的な疑問は、基礎に戻って地道に考えると、大抵解決します。で、（自分も含めて）良く言われるのが「定義を良く読め」「定義を理解しろ」です(^^;)。

　残りは、全微分の公式そのものです。