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構造関数の被積分関数の球対称性

 N個の1次元調和振動子のハミルトニアンHは H=Σ〔i=1~N〕{p〔i〕^2/2m+m(ω^2)(q〔i〕^2)/2} の時、被積分関数の球対称性から次式を示そうと思っています。  Ω(E)={(2π/ω)^N}{E^(N-1)/Γ(N)} ですが、等式 (d^2N)z={2π^(N)/Γ(N)}r^(2N-1)dr を何処かで用いるとしか分かりません。  誠に恐縮で御座いますが、どなたか御回答を宜しく御願い申し上げます。

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前問の回答より  z〔i〕=p〔i〕/(2mE)^(1/2)、  z〔i+N〕=q〔i〕/(2E/mω^2)^(1/2) とすると Ω(E) ={(2mE)^(N/2)/E}(2E/mω^2)^(N/2)   ×∫(d^2N)zδ{1-Σ[i=1~2N]z〔i〕^2}  = (2E/ω)^N /E   ×∫(d^2N)zδ{1-Σ[i=1~2N]z〔i〕^2} 2N次元球座標を用いて(d^2N)z={2π^(N)/Γ(N)}r^(2N-1)dr とすると  ∫(d^2N)zδ{1-Σ[i=1~2N]z〔i〕^2}  = {2π^(N)/Γ(N)}∫r^(2N-1)δ(1 - r^2)dr ここで  δ(f(x)) = Σδ(xi)/|f'(xi)| (xiはf(x)の零点) という公式を使うと∫r^(2N-1)δ(1 - r^2)dr = (1/2) となるから  Ω(E) ={(2π/ω)^N}{(2E)^(N-1)/Γ(N)} ではないでしょうか。

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下の回答で  δ(f(x)) = Σδ(xi)/|f'(xi)| (xiはf(x)の零点) は  δ(f(x)) = Σδ(x-xi)/|f'(xi)| (xiはf(x)の零点) に訂正させて頂きます。

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