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構造関数の被積分関数の球対称性
N個の１次元調和振動子のハミルトニアンHは H＝Σ〔i=1～N〕｛p〔i〕^2／2m＋m(ω^2)(q〔i〕^2)／2｝ の時、被積分関数の球対称性から次式を示そうと思っています。 Ω（E）＝｛（2π／ω）^N｝｛E^(N-1)／Γ（N）｝ ですが、等式 (d^2N)z＝｛2π^(N)／Γ(N)｝r^(2N-1)dr を何処かで用いるとしか分かりません。 誠に恐縮で御座いますが、どなたか御回答を宜しく御願い申し上げます。
- twelve12oclock
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前問の回答より z〔i〕＝p〔i〕／(2mE)^(1/2)、 z〔i+N〕＝q〔i〕／(2E/mω^2)^(1/2) とすると Ω（E) =｛(2mE)^(N／2)／E｝(2E/mω^2)^(N／2) ×∫(d^2N)zδ{１－Σ[i=1～2N]z〔i〕^2｝ = (2E/ω)^N ／E ×∫(d^2N)zδ{１－Σ[i=1～2N]z〔i〕^2｝ 2N次元球座標を用いて(d^2N)z＝｛2π^(N)／Γ(N)｝r^(2N-1)dr とすると ∫(d^2N)zδ{１－Σ[i=1～2N]z〔i〕^2｝ = {2π^(N)／Γ(N)｝∫r^(2N-1)δ(1 - r^2)dr ここで δ(f(x)) = Σδ(xi)/|f'(xi)| (xiはf(x)の零点) という公式を使うと∫r^(2N-1)δ(1 - r^2)dr = (1/2) となるから Ω(E) =｛(2π/ω)^N｝｛(2E)^(N-1)／Γ(N)｝ ではないでしょうか。
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- grothendieck
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下の回答で δ(f(x)) = Σδ(xi)/|f'(xi)| (xiはf(x)の零点) は δ(f(x)) = Σδ(x-xi)/|f'(xi)| (xiはf(x)の零点) に訂正させて頂きます。
お礼
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